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Segmentos

Es la porción de recta comprendida entre dos puntos.

 

 

 

Los puntos A y B; se le llama extremo del segmento AB.

Se representa con la letra minúscula “a” o por los puntos que la limitan:

La longitud del segmento, es la distancia que existe entre los puntos que son sus extremos.

Ejemplo:

La longitud del segmento AB = 6 cm.

O  también se escribe como  m AB = 6 cm.

Nota:

¿Qué significa , AB; ó m AB?

Cuando escribimos , nos estamos refiriendo al segmento como figura geométrica.

Cuando escribimos AB o m AB, nos estamos refiriendo a la longitud o medida del segmento.

 

Congruencia de segmentos:

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

segmentos_congruentes

 

 

Punto medio de un segmento:

Es aquel punto que divide al segmento,  en dos segmentos congruentes.

 

punto-medio-segmento

 

 

Segmento  congruentes: 

 

Puntos sobre una recta:

Sabemos que sobre una recta existen infinitos puntos. Supongamos que sobre una recta se toman los puntos consecutivos  A, B, C,  y D.

Dibujamos una recta y sobre esta recta marcamos en forma arbitraria, los puntos A, B, C, y D. Veamos la siguiente figura.

puntos-sobre-recta

 

 

Como los puntos A, B. C y D se encuentran sobre una misma recta, también se les llama puntos colineales.

 

Operaciones con segmentos:

Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes de los segmentos.

Ejemplo:

Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, D, y E de modo que AB=2, BC= 4, CD= 5, DE= 6

Puntos-recta

Efectuar las siguientes operaciones:

a)      AE

b)      AE + BD

c)       AE – AB –CD

d)      AD . BE

e)      AC2

f)       AC . BD + AD . BC

g)      (AC + AB)/ AB

Solución:

a)      AE = (2+4+5+6) = 17

b)      AE + BD = (2+4+5+6) + (4+5) = 17 + 9 = 26

c)       AE – AB –CD = (2+4+5+6) – 2 – 5 = 10

d)      AD . BE = (2 + 4 + 5 ). (4 + 5 + 6) = 11 . 15 =165

e)      AC2= (2+4)2= 62 = 36

f)       (AC + AB)/AB = [(2 + 4) + 2]/2  = [6 + 2]/2 = 8/2 = 4

 

Ejemplo:

Sobe una  recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB = BD = 4 . CD

Hallar CD, SI AD = 24.

Solución:

 

figura_1

Cuando resolvemos problemas de operaciones con segmentos. Lo que haremos  es darle un valor a la longitud de cada segmento de la recta. Y luego; se plantea la ecuación, según el enunciado del problema.

En  nuestro caso vamos a darle un valor “x” a la longitud del segmento CD (CD = x).

De acuerdo al dato tenemos:

AB = BD = 4 . CD

AB = BD = 4. a

De la figura se tiene:

AD = AB + BD

24 = 8.  a

De donde:                                         a = 3

Nos piden CD, entonces:

CD = a

Luego:                                                 CD = 3

 

Problemas de segmentos:

  1. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B. C. y D de modo que AD = 80, AB =20, CD = 50. Hallar BC.
  2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos  P,Q, R, y S de modo que PS = 40, PR = 30, QS = 15. Hallar QR.
  3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E de modo que AB = x, BC = 6, CD = 2X, DE = 7, AE = 43. Hallar x
  4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R de modo que Q es punto medio de PR; además PQ = 15, QR = 2X+7. Hallar “x”.
  5. En una recta se toman los puntos consecutivos  P, Q, R, S de modo que PR + QS = 32  Y PS = 20. Hallar QR.
  6. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R, S de modo que QR = 14, PS = 27. Hallar PQ + RS.
  7. En una recta se marcan los puntos consecutivos P,Q, R, S tal que RS = 3 . PR,  QS – 3. PQ = 28. Calcular QR.
  8. En una recta se ubican los puntos consecutivos R, S, T, U, tal que RT = 12 , RU + TU = 32. Hallar RU.
  9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos  R, S, T, U,  de modo que RS = 6. ST  y  RS + TU = 50. Calcular RU.
  10. Los puntos P,Q, R, S, se encuentran sobre una línea recta, tal que R, es punto medio del segmento PS, además QS – PQ = 18. Hallar QR.

Clave de respuestas:

1. BC = 10                                           2.  QR = 5                                            3.  X = 10

4.  x = 4                                                5.  QR = 12                                          6.  PQ +  RS = 13

7.  QR = 7                                            9.  RU = 22                                          9.  RU = 60

10.  QR = 9

 

Elementos en el plano

En la geometría euclidiana, llamada también geometría plana; veremos todo lo referente al plano,  y empezaremos por los conceptos básicos, llamados también conceptos primitivos, debido a que no tienen una definición exacta; pero si tenemos una idea clara de lo que son. Este es el caso del: punto, la recta y el plano.

El punto:

Es lo que no tiene dimensiones, ni grosor, ni profundidad, ni altura. Todos tenemos una idea de lo que es; pero no tiene una definición precisa; en todo caso se podría definir como aquel que ocupa una posición en el espacio, suelen representarse como la marca que deja la punta de un lápiz, tiza, etc. Se nombra con letras mayúscula. Ejemplo: Sean los punto A, B, C, y D;  que deja la punta de un bolígrafo al presionarlo sobre un papel.  

La recta:

Una recta tiene una sola dimensión: Longitud. Y se define como una sucesión infinita de puntos situados en una misma dirección,  y  que solo consta de una sola dimensión, la longitud; se representa mediante una línea derecha, y se nombra  mediante dos puntos, o con una letra minúscula.     En toda, nos indicarán una sola dirección y dos sentidos  

Tipo de rectas:

Dentro de las rectas, existen varios tipos:

Semirecta:

Imaginemos que sobre una recta toma un punto “O”, este punto divide a la recta en dos partes. A cada parte se llama semirecta. La semirecta, no considera al punto “O”.  Y más bien al punto “O”, se le llama origen o frontera.  

Rayo:

Imaginemos de nuevo que sobre una recta se toma un punto C, este punto divide a la recta en dos partes; cada parte se llama rayo. El rayo si considera al punto C.  

Rectas secantes:

Son aquellas rectas que se cortan en un solo punto.  

Rectas perpendiculares:

Son aquellas rectas que se cortan en un solo punto y además forman un ángulo de 90º  

Rectas paralelas:

Son aquellas rectas que no se cortan en ningún punto.  

Rectas coincidentes:

Dos o más rectas  son coincidentes;  cuando todos sus puntos son comunes.  

El plano:

Es aquella superficie  que tiene dos dimensiones: largo y ancho, no contiene espesor; y que a su vez,  contiene infinitos puntos y rectas. Se suele representar con una letra mayúscula en las esquinas.  

Determinación de los planos:

Los planos se pueden determinar de la siguiente manera:

  • Tres puntos no alineados.

  • Dos rectas que se cortan.

  • Dos rectas paralelas.

  • Un punto y una recta.

    Cuando dos planos se cortan, determinan una recta.  

Semiplanos:

Se llama semi-plano a cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una reta.  

¿Cómo estudiar matemáticas con la ayuda de vídeos tutoriales?

Otra alternativa de estudio, son los vídeos tutoriales. Para esto te sugiero las siguiente:

1º  Desconéctate del Facebook, twiter, tuenti o cualquier otra red social que tengas; así como de  cualquier programa de chat  como el MSN o skype, etc.

2º  Apaga tú móvil y evita leer tus correo electrónicos, salvo que sea relacionado al curso que estudias.

3º  Siempre ten a la mano todos los materiales que vas a necesitar para estudiar matemáticas como son: cuadernos, lápiz, borrador, etc.

4º Apaga la radio, televisión o cualquier elemento que distraiga tú concentración; de ser preciso comunica a tú familia que estas estudiando y que necesitas silencio.

5º Mira y escucha la explicación, si no consigues  entender, vuelve a repetirlo cuantas veces sea necesario hasta que lo comprendas, de ser preciso pon pausa en un procedimiento y vuelve a repetirlo otra vez hasta que lo tengas claro.

6º Luego, trata de resolver el mismo ejercicio en tu cuaderno, sin ver el procedimiento del vídeo;  de conseguirlo, continúa con el siguiente vídeo; tomando en consideración la metodología anterior.

7º No trates de avanzar con los vídeos si no comprendes el anterior, se honesto contigo mismo; es la única forma de aprender a construir tu propio conocimiento.

8º Los ejercicios propuestos en los vídeos tutoriales debes de resolverlo.

9º Una vez resueltos los ejercicios propuestos de los vídeos tutoriales, resolverás los ejercicios o problemas de tú libro.

 

Marco Antonio Rojas Montoya

Director de matemáticas virtuales

Sistema métrico decimal

Antes de referirnos al sistema métrico decimal, pasaremos a dar algunas definiciones previas:

Magnitud:

Es todo que aquello, que es susceptible de medición.

Ejemplo:

  • La longitud  se puede medir en centímetros, metros, kilómetros, pies, pulgadas, etc.
  • El peso, puede ser medidos en gramos, kilogramos, etc.
  •  El volumen, puede ser medido en cm2, mts2, etc.

Medir:

Es la acción de comparar una magnitud con otra, por la cual la llamaremos unidad.

Medida:

Es el número de veces que contiene una magnitud a la unidad.

Si por ejemplo, quisiéramos medir  la longitud que existe,  de un palo de escoba;  escogeríamos como unidad de medida apropiada es este caso, al metro para medirla.

 

Sistema métrico decimal:

 

Antes;  cada país y en otros casos cada región usaban unidades de medidas diferentes, y esta diversidad dificulto las relaciones comerciales entre los pueblos.  Bien;  pues para acabar con estas dificultades en 1791, tras la revolución Francesa,  la academia de ciencias de París, propuso el sistema métrico decimal.

Posteriormente fue adoptado por otros países, a excepción de los países del habla inglesa, que se rigen por otro sistema, llamado  sistema inglés.

En el caso de España,  su empleo del sistema métrico decimal se hiso oficial en 1849.

El sistema métrico decimal;  se ha convertido en el sistema más moderno, completo, y mejor difundido universalmente; con lo cual,  se adopto internacionalmente en París (1889);  por la conferencia general de pesos y medidas; como el sistema internacional de unidades (SI).

Ahora, ustedes se  preguntarán; ¿Cómo funciona el sistema métrico decimal?

Y  la respuesta es muy simple; el sistema métrico decimal, es un sistema de unidades, en la cual los múltiplos y sub múltiplos de una determinada unidad de medida; están relacionadas entre sí, por múltiplos y sub múltiplos  de 10.

El sistema métrico decimal, lo utilizamos para medir las siguientes magnitudes:

 

Medidas de longitud:

La unidad de longitud, se usa para medir la distancia; su unidad principal es el metro (m), con sus múltiplos y sub múltiplos, como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al metro son:

  • Decámetro, que es 10 veces más grande que el metro.
  • Hectómetro, que es 100 veces más grande que el metro.
  • Kilómetro, que es 1000 veces más grande que el metro.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al metro son:

  • El decímetro es 10 veces más pequeña que el metro.
  • Centímetro es 100 veces más pequeña que el metro.
  • Milímetro es 1000 veces más pequeña que el metro.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

 

Ejemplo  1:

Pasar 30 metros a centímetros.

Solución:

Para pasar de metros a centímetros, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de dos ceros; debido a que entre el metro y el centímetro existe dos lugares de separación.

Luego sería:

30 x 100 = 3000 centímetros

 

Ejemplo  2:

Pasar 3650 milímetros (mm) a metros (m).

Solución:

Para pasar de milímetros a metros;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

Medidas de masa:

La unidad de masa se usa para medir el peso; su unidad principal es el gramo (gr), con múltiplos y sub múltiplos, como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al gramo son:

  • Decagramo, que es 10 veces más grande que el gramo.
  • Hectogramo, que es 100 veces más grande que el gramo.
  • Kilogramo, que es 1000 veces más grande que el gramo.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al gramo son:

  • El decigramo es 10 veces más pequeña que el gramo.
  • Centigramo es 100 veces más pequeña que el gramo.
  • Miligramo es 1000 veces más pequeña que el gramo.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

 

Ejemplo  1:

Pasar 50 gramos a centigramos.

Solución:

Para pasar de gramos a centigramos, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de dos ceros; debido a que entre el gramo y el centigramo existe dos lugares de separación.

Luego sería:

50 x 100 = 5000 centigramo

 

Ejemplo  2:

Pasar 5450 miligramos (mg) a gramo (g).

Solución:

Para pasar de miligramo a gramo;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

Medida de capacidad:

La unidad de capacidad se usa para medir los volúmenes;  su unidad principal es el litro (lt), con múltiplos u sub múltiplos, como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al litro son:

  • Decalitro, que es 10 veces más grande que el litro.
  • Hectolitro, que es 100 veces más grande que el litro.
  • Kilolitro, que es 1000 veces más grande que el litro.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al litro son:

  • El decilitro es 10 veces más pequeña que el litro.
  • Centilitro es 100 veces más pequeña que el litro.
  • Mililitro es 1000 veces más pequeña que el litro.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

 

Ejemplo  1:

Pasar 50 litros a mililitros.

Solución:

Para pasar de litros a mililitros, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de tres ceros; debido a que entre el litro y el mililitro existe tres lugares de separación.

Luego sería:

50 x 1000 = 5000 mililitros

 

Ejemplo  2:

Pasar 450 centilitros (cl) a litros (l).

Solución:

Para pasar de centilitros  a litros;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de dos ceros; debido a que entre el centilitro y el litro existe tres lugares de separación.

 

 

Medidas de superficie:

La unidad de superficie se utiliza para medir las áreas de las regiones planas, su unidad es el metro cuadrado (m2); con sus múltiplos y sub múltiplos como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al metro cuadrado son:

  • Decámetro, que es 100 veces más grande que el metro cuadrado.
  • Hectómetro, que es 10000 veces más grande que el metro cuadrado.
  • Kilómetro, que es 1000000 veces más grande que el metro cuadrado.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al metro cuadrado son:

  • El decímetro es 100 veces más pequeña que el metro cuadrado.
  • Centímetro es 10000 veces más pequeña que el metro cuadrado.
  • Milímetro es 1000000 veces más pequeña que el metro cuadrado.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

Ejemplo 1:

Pasar 2.5 hectómetros cuadrado  a centímetros cuadrados.

Solución:

Para pasar hectómetros cuadrado  a centímetros cuadrados, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de cuatro ceros; debido a que entre el metro y el centímetro existe dos lugares de separación.

Luego sería:

2.5 x 10000 = 25000 centímetros cuadrados

Ejemplo 2:

Pasar 36000 milímetros cuadrados (mm2)  a metros (m2).

Solución:

Para pasar de milímetros cuadrados  a metros cuadrados;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de seis ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

Medidas de volumen:

La unidad de volumen  se utiliza para medir el lugar que ocupa en el espacio,  los sólidos de tres dimensiones (largo, ancho, y alto);  su unidad,  es el metro cúbico (m3); con sus múltiplos y sub múltiplos como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al metro cúbico son:

  • Decámetro, que es 1000 veces más grande que el metro cúbico.
  • Hectómetro, que es 1000000 veces más grande que el metro cúbico.
  • Kilómetro, que es 1000000000 veces más grande  el metro cúbico.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al metro cuadrado son:

  • El decímetro es 1000 veces más pequeña que el metro cúbico.
  • Centímetro es 1000000 veces más pequeña que el metro cúbico.
  • Milímetro es 1000000000 veces más pequeña que el metro cúbico.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

Ejemplo 1:

Pasar 3.3 hectómetros cúbicos  a centímetros cúbicos.

Solución:

Para pasar hectómetros cúbicos  a centímetros cúbicos, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de seis ceros; debido a que entre el metro y el centímetro existe dos lugares de separación.

Luego sería:

3.3 x 1000000 = 3300000 centímetros cúbicos

Ejemplo 2:

Pasar 48000 milímetros cúbicos (mm3)  a metros cúbicos (m3).

Solución:

Para pasar de milímetros cuadrados  a metros cuadrados;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de nueve ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

 

Problemas:

1)    Expresa el equivalente de cada medida de longitud:

a)   4.5 km a metros                       b)  6.4 dam  a metros                    c)  36.7 mm  metros

d)  645 cm a metros                       e)  2350 mm a kilómetros            f)  32.8 hm a centímetro

2)   Pasar cada medida masa a la unidad que se le pide:

a)   3.5 kg a gramos                         b)  4.725 mg a gramos                   c)  0.36 dag a gramos

d)  1658 gr a kilogramos                e)  637 cg a gramos                         f)  3.5 dg a kilogramos

3)   Calcula las siguientes cantidades;  expresando su resultado en las unidades que se le pide:

a)  7.6 kl a litros                                b)  5265 ml a litros                           c)  0.45 dl a litros

d)  56.5 hl a litros                             e)  695 cl a mililitros                        f)  9.3 dl a centilitro

4)   La capacidad de una piscina es de 95 kl. Actualmente contiene 500 hectolitros. ¿Cuántos litros faltan para que se llene?

5)   Queremos llenar de vino un tonel de 6 dl de capacidad, con recipiente de 15 litros. ¿Cuántos recipientes de 15 litros necesitamos?

6)  Expresa el equivalente de cada medida de superficie:

a)  550 dm2 a  m2                             b)  5345 mm2  a  m2                        c)  5 m2 a  dm2

d)  46.5 cm2 a  mm2                        e)  495 cm2  a  dm2                          f)  9.3 dm2  a  mm2

7)  El área de un cuadrado, es le producto de lado por lado; calcula el área en cm2, y  dm2, si el lado mide:

a)  l = 3 cm                                          b)  l =  5 cm                                        c)  l = 8 cm

8)   El suelo de una pista de gimnasia es un cuadrado cuyo lado mide 30 m. Determina su área en dm2.

9)   Expresa el equivalente de cada medida de volumen:

a)  650 dm3 a  m3                             b)  5325 mm3  a  m3                        c)  6 m3  a  dm3

d)  5.45 cm3 a mm3                         e)  565 cm3 a  dm3                           f)  0.624 dm3  a  mm3

10)  Calcular el volumen de una piscina, cuyas dimensiones son: 15 metros de largo, 10 metros de ancho, y 4 metros de profundidad; expresados en hm3.

 

Problemas de aleación

Aleación

Una aleación es una mezcla  homogénea de dos o más metales;  que para mezclarlos,  se tiene que fundir dichos metales,  a determinadas temperaturas; dependiendo,  del tipo de metal.

Si uno de los metales u ingredientes, es el mercurio; entonces a la aleación se le denomina amalgama.

 

Metal fino:

Se llaman así, a aquellos metales preciosos, como el oro, la plata, el platino; que intervienen como ingrediente en una aleación.

Estos metales preciosos se funden con otro metal inferior, llamado metal ordinario, como son: el cobre, el zinc, y el níquel.

Al peso del metal ordinario o inferior, recibe el nombre de liga.

 

Ley de una aleación:

Es la relación entre el peso del metal fino, entre el peso total de la aleación. Es decir:

Donde:

L:            Ley de aleación

F:            Peso del metal fino

P:            Peso de la aleación

 

Problemas de aleación:

Para resolver problemas de aleación, es un proceso similar al de mezclas; solo que hay que tener en cuenta, que el precio de la mezcla, en nuestro caso, equivale a la ley de aleación.

 

Ejemplo:

Una aleación contiene  15 gramos de plata pura, 9 gramos de plata de ley 0,750 y 18 gramos de plata de ley 0,850. ¿Cuál es la ley de la aleación?

Solución:

Sabemos que el peso del metal fino, es el producto del peso por la ley respectiva:  F = P  x  L

Luego la ley de aleación:

Luego, la ley de la aleación es 0,763

 

Ley en kilates de los metales finos:

La palabra kilate significa 1/24 del peso total.

Ejemplo:

Una pulsera de oro de 15 kilates tiene  15/24 del peso total que son de oro puro, y el resto 9/24, son de metal inferior.

Ejemplo:

Un aro de matrimonio de 18 kilates tiene 18/24 del peso total que son de oro puro, y el resto 6/24 son de liga.(recordemos que el peso de los metales inferior, reciben el nombre de liga).

El oro puro se considera que son de  24 kilates.

La ley de kilates  también puede ser expresado en milésimas, simplemente dividiendo el número de kilates  entre 24.

Ejemplo:

El aro de matrimonio de 18 kilates, se trata de oro de 18/24 = 0,750

Entonces; siempre se cumple:

Ejemplo 2:

¿Qué cantidad de plata 0,950 y 0,750 de ley serán necesarias para conseguir 8 kg de plata de ley 0,900?

Solución:

Pues al igual que en mezclas, se cumple:

Pérdida de peso de un tipo de plata (0,950 – 0,900) = Ganancia del otro tipo de plata (0,900 – 0,750)

Es decir:

(0,950 – 0,900) x P1= (0.900 – 0,750) x P2

Luego:

Luego:

Para obtener  8kg.  De plata de ley 0,900;  se tiene que hacer una aleación de, 6 kg. De plata de 0,950 de ley; con 2 kg. De plata de 0,750 de ley.

 

Problemas:

1)    Una aleación contiene 20 gramos de oro puro y 12 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

2)   Un aro de matrimonio  es de  ley 0,850 y contiene 8 gramos de oro puro. ¿Cuánto pesa el aro de matrimonio?

3)   Una cadena de oro pesa 90 gramos. Si es oro de 700 milésimas. ¿Cuántos gramos de oro puro contiene la cadena?

4)   Un lingote de plata pesa 800 gramos, y contiene 560 gramos de plata pura. ¿Cuál es la ley de la aleación?

5)   Una aleación contiene 16 gramos de oro puro y 9 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

6)   Una aleación contiene 30 gramos de oro puro y 15 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación?

7)   Una aleación contiene 30 gramos de plata pura, 18 gramos de plata de ley 0,800 y 36 gramos  de plata de ley 0,950. ¿Cuál es la ley de la aleación?

8 )   ¿Qué cantidades de plata de 0,950 y 0,700 de ley serán necesarias para conseguir 4 kg. De plata de ley 0,850?

9)   Se tiene una aleación de 36 gramos de plata pura, con 14 gramos de zinc. ¿Cuál es la ley de la aleación?

10)   Una cadena de oro es de ley 0,850 y contiene 12 gramos de oro puro. ¿Cuánto pesa la cadena de oro?

Clave de respuestas:

 

1)        0,625                          2)   9,412 gr.                       3)    63 gr.                            4)   0,7

5)   0,64                                 6)   0,667                             7)   0,936

8  )   Para obtener  4kilogramos de plata de ley 0,850, son necesarias 2,4 kilogramos de plata de ley 0,950; y 1,6 kilogramos de plata de ley 0,700.

9)   0,72                               10)   14,118 gr.

Problema de mezclas

Mezclas:

Hablamos de mezcla, cuando existe la unión de dos o más sustancias (ingredientes), en cantidades diferentes; que manteniendo  su naturaleza, se cumple que: la suma de las cantidades mezcladas, son iguales a la cantidad de la mezcla.

 

Problema de mezcla:

En este tipo de problemas  lo que buscamos,  es el precio al que se debe de vender una mezcla de dos o más productos de distinto valor; de manera que al final,  no se gane ni se pierda.

Ejemplo:

Antonio mezcla  6 kg de chocolate blanco  cuyo precio es de 5 euros /kg.  Con 4 kg de chocolate negro, de 7 euros/kg. ¿A como se vendería el kilo de la mezcla?

Solución:

Como se aprecia, lo que se gana vendiendo más caro en  chocolates negros, es igual a lo que se pierde vendiendo  más barato en chocolates blancos.

Es decir:

 

 

Problema inverso de mezclas:

En este tipo de problemas, se presenta cuando se conoce el precio de la mezcla (PM) , y los precios por unida de los ingredientes (p1, p2); y lo que se busca es determinar las cantidades (C1, C2) de cada ingrediente.

Ejemplo:

Se mezcla arroz de 0,8 euros/kilogramo, con arroz de 1,30 euros /kilogramo, y se obtiene 100 kilogramos de arroz de 1,1 euros / kilogramo. ¿Qué cantidad de arroz de cada tipo se debe de mezclar?

Solución:

Consideremos que el precio de la mezcla se encuentra entre:

  • Pérdida total en C1:        (1,3 euros/kg – 1,1 euros/kg) x (C1)
  • Ganancia total en C2:     (1,1 euros/kg – 0,8 euros/kg) x (C2)
  • Como: Pérdida total = Ganancia total

Luego:

  • (1,3 euros/kg – 1,1 euros/kg) x (C1) = (1,1 euros/kg – 0,8 euros/kg) x (C2)

De donde:

Luego, se utilizo en la mezcla  60 kg  de arroz de 1,3 euros/kg es, y 40kg de arroz de 0.8 euros/kg.

 

Problemas:

1.   Un bodeguero mezcla 600 litros de vino de 2.8 euros/ litros, con 400 litros de otro vino de 6,2 euros/litro ¿A cuánto sale el litro de la mezcla?

2.   Cuántos litros de colonia de 60 euros/ litro hay que mezclar, con un litro de colonia de 90 euros /litro; para que la mezcla resulte a 70 euros/litro.

3.   Un tendero observa que el arroz de 0.8 euros el kilogramo no se vende, mientras que el  arroz  de 1,30 euros el kilogramo es el preferido por las amas de casa. Para que no se le quede,  mezcla 50 kilogramos de arroz  de 0,8 euros, con 40 kilogramos de arroz de 1,30 euros. Para no perjudicarse, ¿A cómo debe de vender el kilogramo de la mezcla?

4.   Un vendedor de vino cuenta con 40 litros de vino de 3,2 euros/litro, 80 litros de vino de 4.5 euros/litro, y 100 litros de vino de 2,2 euros /litro. Para acabar con todo su vino al mismo tiempo, decide mezclarlo. ¿A cómo debe de vender el litro de la mezcla, para no perjudicarse?

5.   Cuánto café de 15,8 euros/kilogramo hay que mezclar con 6 kilos de café de 9,8 euros/kilogramo para que el kilo de mezcla de café salga a 12 euros el kilogramo.

6.   ¿Cuál es el precio de la mezcla que, que resulta de combinar 46 kg de café a 8,7 euros/kg, con 32 kg de café  a 10,6 euros/kg, y con 52 kg de café a 13,4 euros/kg.

7.  Hallar las cantidades de café de 14,3 euros/kg., de 13,7 euros/kg., y de 9,5 euros/kg que será necesario añadir a 42 kg. De café de 10 euros/kg; para que la mezcla se pueda vender a 13 euros /kg. Sin ganar, ni perder.

8.   Se mezcla un vino de 2,8 euros/litro, con otro de 5,7 euros/litro; resultando en total 127,6 litros  de 3,5 euros/litro. ¿Qué cantidad se tomo de cada uno?

9.   Se ha mezclado 3 litros de colonia de 60 euros/litro, con un litro de colonia de 100 euros/litro. ¿Cuál es el precio de la mezcla?

10.  Un confitero mezcla 8 kilogramos de caramelos de naranja, cuyo precio es de 5 euros/kg, con 4 kilos de caramelos de limón, de 8 euros/kg. ¿A cuánto sale el kilo de la mezcla?

 

Clave de respuesta:

1)    4,16 euros/litro                        2)   2 litros                           3)  1,02 euros/kg

4)  3,22 euros/litro                          5)    3,47 kg.                        6)   11,05  euros/kg.

7)   La mezcla contiene 510 kg de café, de los cuales: 210 kg. Son de 14,3 euros/kg., 180 kg son de 13,7 euros/kg., 78 kg. Son de 9,5 euros/kg.

8 )   30,8 litros de vino de 5,7 euros/litro,  96,8 litros de vino de 2,8 euros/litro.

9)   70 euros/litro.                           10)   6 euros/kg.

 

Interés

Se llama interés al beneficio  o ganancia que se obtiene del dinero prestado. Este beneficio o ganancia, es directamente proporcional a la cantidad prestada, y al tiempo que dura el préstamo.

Interés simple:

Es el beneficio o ganancia que se obtiene del dinero prestado, por un tiempo determinado; debido únicamente al capital inicial.

El interés simple (I), es proporcional al capital inicial (c), rédito o tasa de interés (r), y el periodo de tiempo prestado (t).

Su fórmula está dada por:

Elementos:

Capital (C): Es la cantidad prestada.

Rédito (r): Es el beneficio que se obtiene por  100 euros, en el lapso de un año, se expresa en porcentajes.

Tiempo (t): Es el tiempo prestado del dinero.

Interés (I): Es el beneficio que se obtiene por el préstamo.

Pero; veamos con un ejemplo, de donde sale esta fórmula:

Ejemplo:

Un banco ofrece un beneficio de 6 euros por cada 100 euros, que se ingresan durante un año. ¿Qué beneficio obtendríamos si depositamos 450 euros, durante 5 años?

Solución:

Observa el  siguiente cuadro, y notaras que estamos en un caso de proporcionalidad directa:

Resumiendo tenemos:

Si quisiéramos llevarlo a una fórmula, tenemos lo siguiente:

  • Para el tiempo en 1 año:

  • Para el tiempo en 12 meses:

Recordemos que un año tiene 12 meses; y es  ese es el valor que vamos a considerar en la magnitud tiempo, de la siguiente manera:

  • Para el tiempo en días:

Recordemos que el año comercial tiene 360 días; y es  ese es el valor que vamos a considerar en la magnitud tiempo, de la siguiente manera:

Problemas:

1.   ¿Cuánto dinero tengo para meter en un banco, que da el 4% anual, para que en dos años me produzca un interés de 500 euros.

2.   Si ahora tengo 2500 euros y los coloco en el banco al 8% anual, ¿Qué cantidad tendré en mi cuenta, dentro de un  año?

3.   Hallar el interés que produce un capital de 12400 euros, prestado al 5% anual, durante 4 años.

4.   ¿Cuál es el capital que colocado al 4% durante 86 días, ha producido 234,59 euros de interés?

5.   ¿A qué porcentaje hay que colocar 3600 euros, para obtener 350 euros de interés en 16 meses?

6.   ¿Durante cuánto tiempo hay que colocar 2450 euros al 6,25% anual para obtener 366 euros de interés?

7.   María le presta a Ana 2000 euros al 6% anual durante 3 años. Al cabo de ese tiempo: ¿Cuánto ganó María?, ¿Cuánto acumulo María?

8.   Calcular el capital, sabiendo que su interés es del 4% durante 92 días es 68 euros.

9.   Hallar el interés que se obtiene al prestar 8500 euros al 3% trimestral, durante un año y 2 meses.

10.   ¿Después de cuánto tiempo un capital de 3670 euros, al 5% trimestral produce una ganancia de 10276 euros.

Clave de respuestas:

1)   6250 euros                  2)  200 euros                     3)  2480 euros                   4)  24550 euros

5)  7,29%                           6)  2,39 años                      7)  María ganó 360 euros, y acumulo 2360 euros

8 )  6652,17 euros            9)  1190 euros                   10)  14 años

Porcentajes

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción, que tiene por denominador a 100.  Su símbolo del porcentaje es (%);  y  sirve para indicar,  “de cada 100 unidades”; tanto hay de dicho número. Por esa razón también se le conoce con el nombre del “tanto por ciento

Es decir, que nos sirve para definir relaciones, entre dos cantidades.

Veamos ahora  las distintas formas que podemos enfocar los porcentajes:

 

Un porcentaje,  es una fracción del total:

Sabemos que:

“a%”: significa que de cada 100 unidades, tomamos “a”

Ejemplo:

 

Si buscamos calcular el “a%” de una cantidad “C” (a% de C):

  • Se pone primero el tanto por ciento como fracción.

 

  • Y luego se calcula esa fracción de la cantidad:

Ejemplo 1:

Hallar el 35% de 350.

Solución:

 

Como se puede apreciar en el ejemplo;  el término “de” o “del”,  implica multiplicación

Ejemplo 2:

Hallar el 15% de 650 + 25% de 650

Solución:

En este ejemplo, notamos que el número 650 es común a ambos sumando, con lo cual podemos factorizar.

Luego tenemos:

 

En resumen; sólo se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.

 

Un porcentaje,  supone una relación de proporción:

Al tomar un mismo tanto por ciento de distintas cantidades, observamos que el total y la parte tomada, son siempre directamente proporcionales, con lo cual los cocientes de dichos valores siempre será una constante. Esto nos permite construir proporciones, para calcular los porcentajes.

Ejemplo:

Tomemos el  25% de distintas cantidades.

 

 

Luego, podemos construir las proporciones  para calcular los porcentajes:

 

 

Veamos los diferentes problemas de porcentajes, que se pueden presentar:

 

Cálculo del total, conociendo la parte:

 

Si como datos no conocemos el total, y sabemos la parte asociada a determinado porcentaje. ¿Cómo hallaremos el total?

Para entenderlo mejor, vamos a explicarlo a través de un ejemplo numérico.

Ejemplo:

Hoy han faltado en un salón de clases 6 alumnos de matemáticas, lo que supone un 15 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en  total del aula?

Solución:

Lo que haremos es formar la proporción, del enunciado del problema.

 

 

Calculo del porcentaje, conociendo la parte y el total:

 

Conociendo el total, se ha tomado una parte determinada, ¿Qué porcentaje se habrá tomado?

Ejemplo:

En las últimas elecciones presidenciales, de un censo de 24500 personas, el presidente actual recibió votos de 19500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyo al presidente electo?

Solución:

 

Luego; el presidente electo,  recibió el  79.59% de los votos a su favor.

 

Aumentos porcentuales:

 

¿En que se convierte una cantidad tras ser aumentada a un cierto porcentaje?

Para poder  apreciarlo mejor la explicación, vayamos a un ejemplo numérico.

Ejemplo:

El coste de una portátil esta a 450 euros, si le incrementamos el margen de ganancia en un 30%. ¿A qué precio se venderá?

Solución:

 

Primer método:

 

Luego:

Precio venta de portátil = 450 euros + 135 euros = 585 euros

 

Segundo método:

Como el coste representa el 100%; al aumentar en un 30% de ganancia, el precio de venta representará el 130%, luego tenemos:

 

 

En conclusión:

Al aumentar una cantidad en un “a%”; equivale a calcular el “(100+a) % de dicha cantidad.

 

Ejemplo 2:

Una camisa cuesta 54 euros  tras sufrir una subida del 15% ¿Cuántos costaba antes de la subida?

Solución:

 

 

Disminuciones  porcentuales:

 

¿En que se convierte una cantidad, tras ser disminuida un cierto porcentaje?

Vayamos a un ejemplo numérico, para que se entienda mejor la explicación.

Ejemplo:

En un centro comercial se, se anuncia la rebaja del 20% en todos sus artículos. ¿Cuál será el precio rebajado de una camisa, que se exponer en el escaparate a 65 euros?

Solución:

Primer método:

 

 

Segundo método:

Como el coste representa el 100%; al disminuir en un 20% de ganancia, el precio de venta representará el 80%, luego tenemos:

 

 

En conclusión:

Al disminuir una cantidad en “a%”, equivale a calcular el (100 – a) % de dicha cantidad.

 

Descuentos sucesivos:

 

Hay que tomar en cuenta; que cada descuento se hace sobre lo que ha quedado, después del descuento anterior.

Ejemplo:

Un producto valorado en 600 euros, ha sufrido dos descuentos sucesivos del 30%, y 20%. ¿A qué único descuento equivale?

Solución:

1º descuento:

 

 

2º descuento:

 

 

Luego,  el valor del producto final es de 320 euros.; Con lo cual, este valor representa:

 

 

Luego; el descuento sucesivo de 30%, y 20% equivale a un único descuento de:

100% – 56% = 44%

 

Aumentos sucesivos:

 

Para los aumentos sucesivos, se procede de la forma similar de los descuentos sucesivos. Cada aumento se hace sobre lo que ha quedado, después del incremento anterior.

Ejemplo:

Un producto valorado en 800 euros, ha sufrido dos aumentos  sucesivos del 20%, y 10% respectivamente. ¿A qué único aumento equivale?

Solución:

1º aumento:

 

 

2º aumento:

 

 

Luego,  el valor del producto final es de 1056 euros.; Con lo cual, este valor representa:

 

 

Luego; el  aumento  sucesivo de 20%, y 10% equivale a un único aumento de:

132% – 100% = 32%

 

Problemas sobre precios de compra y venta:

 

El porcentaje, tiene mucha aplicación en los problemas de precio de venta o de compra, que se presenta en la vida diaria.

Para ello, vamos a definir algunos conceptos básicos que debemos de conocer:

Precio de compra (Pc): Es el valor que se adquiere o se compra de una mercadería.

Precio de venta (Pv): Es el valor que se vende, de una mercadería.

Ganancia o beneficio (g): Es la diferencia entre el Pv – Pc; es decir: g = Pv – Pc

Pérdida (p): Es la diferencia entre el Pc – Pv; es decir: p = Pc – Pv

 

Casos que se presentan:

 

Hallar el precio de venta, conociendo el % de ganancia o pérdida:

Ejemplo:

Ana ha ganado 5400 euros al vender un terreno con el 30% de ganancia. ¿Cuál es el precio de venta?

Solución:

Del enunciado deducimos que la ganancia g= 5400 euros.

Sabemos que:  g=30%del Pc

Es decir:

 

 

Luego:

 

 

Hallar el precio de compra, conociendo el % de la ganancia o pérdida:

Ejemplo:

José vende su auto por 6000 euros, perdiendo un 40%. Hallar el precio de compra y la pérdida?

Solución:

Sabemos:

 Pv = Pc – p …………..(1)

Del enunciado, deducimos que:

 

 

Luego, reemplazando la expresión (2), en (1) tenemos:

 

 

Luego para calcular la pérdida, reemplazamos el valor del PC=10000 euros, en la expresión (2)

 

 

Hallar el porcentaje de la ganancia o pérdida, conociendo el precio de venta, y el precio de costo:

 

En este caso, de los datos deducimos la ganancia o pérdida, y luego se plante la proporción, buscando el porcentaje del precio de compra.

Ejemplo:

Juan compro un televisor por 650 euros, y lo vendió por 520 euros. Hallar el porcentaje de pérdida.

Sabemos que:  Pérdida = Pc – Pv

Luego:

Pérdida = 650 euros – 520 euros = 130 euros.

Ahora buscaremos, que % de 650, es 130 euros.

Luego:

 

 

Luego, la pérdida representa un 20% del precio de compra.

 

Problemas:

1.    Un artículo que costaba  86 euros, ha subido un 16%. ¿Cuánto costará ahora?

2.    Un Cocina cuesta 680 euros, tras sufrir una subida del 16%. ¿Cuánto costaba antes de la subida?

3.   En un salón de clases hay 38 entre alumnos, y alumnas, Hoy han faltado 5 alumnos. ¿Cuál es porcentaje de ausencias?

4.   En un pueblo de 8600 habitantes, el 78% están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?

5.   Una fabrica que se dedica a la exportación de baldosas, tenía hace 6 años 325 trabajadores. Con la crisis económica, ha tenido que reducir  en un 20% la plantilla de  sus trabajadores, para hacer frente a situación económica. ¿Cuántos trabajadores tienen actualmente?

6.  Un informático ganaba 1500 euros en el mes de mayo, después de titularse en su universidad, recibió un aumento de 30% sobre su sueldo de mes de junio. ¿Cuál será su sueldo este mes?

7.   Un comerciante vende a 60 euros un lote de mercaderías, ofreciendo un aumento del 20% y luego un descuento del 20%. ¿Cuál es su precio final?

8.   Si el lado de un terreno cuadrado disminuye en un 25%, ¿En qué tanto por ciento, disminuye su área?

9.   A un cierto producto  valorado en 1800 euros, se le hace dos descuentos sucesivos del 25%, y 20% respectivamente. ¿Cuál es el valor final del producto?

10.   Juan ha ganado 5300 euros al vender un  terreno, con el 25% de ganancia. ¿Cuál es su precio de venta?

11.   Víctor compra un coche por 5600 euros, y lo vende por 7800 euros. Hallar el porcentaje de ganancia.

12.   Se ha vendido una refrigeradora por 750 euros, perdiendo el 20%. Hallar el precio de compra y la pérdida.

 

Clave de respuestas:

1)    99,76 euros                2) 586,21 euros                3) 13,16%                            4) 6708 habitantes

5)   260 trabajadores         6) 1950 euros                    7) 57,6 euros                     8 ) disminuye 36%

9)  1080 euros                   10)  26500 euros              11)  39,29%

12)  Pc = 937,5 euros;  p = 187,5 euros

Reparto proporcional compuesto

El reparto proporcional es compuesto, cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números. Estas; a su vez, puede ser:

  • Reparto proporcional compuesto directo.
  • Reparto proporcional compuesto inverso.
  • Reparto proporcional compuesto mixto.

Reparto proporcional compuesto directo:

El reparto proporcional es directo, cuando a mayor sea  el número proporcional, mayor será el beneficio, y  viceversa. Y es compuesto;  cuando el número proporcional, proviene de un producto de factores.

Repartir “N” entre las partes proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a: “a . a1”, “b . b1”, “c . c1” respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

  • Primero obtenemos los números proporcionales del reparto;  multiplicando los factores,   de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego  estaremos en el caso del reparto proporcional simple directo; con lo cual,  se puede resolver con cualquiera de los 2 métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir 364 euros, en tres partes directamente proporcionales a 3,2 y 5, y simultáneamente a 4,7, y 6.

Método de proporciones:

Solución:

La cantidad  a repartir es 364 euros.

Primero  calculamos los números proporcionales del reparto compuesto, multiplicando los factores de los números proporcionales parciales, de la siguiente manera:

Cabe destacar, que lo que importa de estos números proporcionales, no es la cantidad nominal, sino la relación que guardan entre sí. Por consiguiente, si cabe la posibilidad de simplificar estos números; el resultado no se altera. (En nuestro caso, a los números proporcionales: 12,14, 30;  le hemos quitado la mitad)

Llamemos “x”,”y”,”z”; las partes buscadas; que sean directamente proporcionales a los números 6, 7 y 15; el cociente debe de ser una constante, por lo tanto vamos a formar la proporción.

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 6 + 7 + 15 = 28

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son 78, 91, y 195 euros.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 78 euros + 91 euros + 195 euros = 364 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 364 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 6, 7, y 15.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 6 + 7 +  15 = 28

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 78, 91, y 195 euros respectivamente.

Comprobación: 78 euros + 91 euros + 195 euros = 364 euros.

Reparto proporcional compuesto inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional: menor le corresponde en el reparto, y viceversa. Y es compuesto cuando los números proporcionales provienen de un producto de factores.

Como ya hemos visto anteriormente, los problemas de reparto proporcional inverso se transforman en problemas de reparto proporcional directo, invirtiendo cada número proporcional.  Es decir:

Repartir “N” entre las partes inversamente proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a:  , respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir  144 euros, en partes inversamente proporcionales a los números  3, 2, y 4; y también a  2, 4, y 6 respectivamente.

Método de proporciones:

Solución:

La cantidad  a repartir es 144 euros.

Primero  buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo.

Para ello; invertiremos cada uno de los números proporcionales parciales  del problema, de la siguiente manera:

Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

 

Luego, damos común denominador a los números: 6, 8 y 24. Es decir, m.c.m (6,8, y 24) = 24

Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos  números proporcionales son: 4, 3, y 1 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Luego, la cantidad a repartir es  N = 144 Euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 1; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 1 = 8

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son: 72, 54, y 18 euros.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 444 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3, y 1, respetivamente.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 4 + 3 +  1 = 8

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 72, 54, y 18 euros respectivamente.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

Reparto proporcional compuesto mixto:

El reparto proporcional compuesto  mixto, es  cuando de una cantidad se da una repartición directamente proporcional a uno o más factores e inversamente proporcional a uno u otros factores.

Como pueden apreciar, este es un caso donde se combinan el reparto proporcional directo e inverso;  con lo cual, basta con convertir a reparto directo, todos los factores que son inversamente proporcionales; invirtiendo cada número proporcional. Es decir:

Repartir “N” entre las partes directamente proporcionales “a”, “b”, “c”, e inversamente proporcional  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a:  ,  respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales que son inversos. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales inversos. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando  todos los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir 480 euros en 3 partes directamente proporcionales a: 3, 4, y  5 e inversamente proporcionales a: 6, 12, y 18, respectivamente

Método de proporciones:

La cantidad  a repartir es 480 euros.

Primero  buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo.

Para ello; invertiremos cada uno de los números  parciales que son inversamente proporcionales  del problema, y los números que son directamente proporcionales, se deja tal como está; de la siguiente manera:

Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

Luego, damos común denominador a los números: 6, 12 y 18. Es decir, m.c.m (6,12, y 18) = 36

Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, Y como el resultado de  todos los números proporcionales del reparto tienen mitad, se simplifica quedando de la siguiente manera:

De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos  números proporcionales son: 9, 6, y 5 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Luego, la cantidad a repartir es  N = 480 Euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6 y 5; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 9 + 6 + 5 = 20

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son: 216, 144, y 120 euros respectivamente.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 480 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6, y 5, respetivamente.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 9 + 6 +  5 = 20

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 216, 144, y 120 euros respectivamente.

Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.

Problemas:

1)    Repartir  696 euros directamente proporcionales a los números 2 y 5, y simultáneamente a 9 y 8.

2)   Repartir el número 1972 directamente proporcional a 3,4, y 7 y simultáneamente a 5,6, y 9.

3)    Repartir 3536 euros  en partes inversamente proporcionales a 3, 4, y 5 y simultáneamente a 3/4, 1/3, y 6.

4)   Repartir 5040 en partes directamente proporcionales a 3, y 7 e inversamente proporcionales a 1/5, y 1/3.

5)   Repartir 468 manzanas en partes directamente proporcionales a los números  3, y 8 e inversamente proporcionales a los números 1/5, y 1/3.

6)   Una empresa decide repartir  7895 euros  de premio, entre sus tres mejores trabajadores,  en forma directamente proporcional a su productividad: 3%, 5%, y 8% respectivamente  e inversamente proporcional al número de faltas: 4 días, 6 días, y 9 días respectivamente.  ¿Cuánto le corresponde a cada trabajador dicho premio?

7)    Dos operarios que trabajan como asociados han cobrado 1215 euros, como  pago a cierto trabajo realizado. El primero ha dedicado tres días, a razón de 8 horas diarias y el segundo cinco días, a razón de 6 horas diarias. ¿Cómo debe de realizarse el reparto?

8 )   Se han pagado 4’125,000 euros por tres parcelas de terreno de 7,4 ha, 4 ha, y 36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?

9)   Varios amigos y amigas acuden a un supermercado para comprar productos con  los que celebrar una fiesta. Se han gastado 105 euros. María lleva el dinero de 6 de ellos, Juan de 4 de ellos, y Ana de 5 de ellos. ¿Qué parte de lo que tienen que pagar  ha de poner cada uno?

10)   La ganancia del primer año de una empresa se reparte en forma directamente proporcional a su aportación de capital: socio A aportó 20000 euros, socio B aportó 70000 euros, y socio C aportó 30000 euros respectivamente;  y en forma inversamente proporcional a los adelantos de dinero que la empresa a entregado a sus socios durante el año en ejercicio: Socio A cobró 3000 euros, socio B cobró 5000 euros, y el socio C cobró 2000 euros; si se sabe que el socio A recibió  400000 euros. Calcular cuánto recibió los otros socios B, y C?

Clave de respuestas:

1)   216 euros, y  480 euros respectivamente.                    2)   290, 464, y 1218 respectivamente.

3)   1280 euros, 2160 euros, y 96 euros respectivamente.            4)   2100, y 2940 respectivamente.

5)   180 euros, y 288 euros respectivamente.                     6)   1485 euros, 1650 euros, y  1760 euros respectivamente.

7)   540 euros, y 675 euros. Respectivamente.                  8 )   2’062500 euros, 1’100000 euros, y 990000 euros respectivamente.

9)  María 42 euros, Juan 28 euros, y Ana 35 euros.          10) Socio B = 840000 euros, socio C = 900000 euros.

Reparto proporcional

En un procedimiento de cálculo que permite repartir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras.

Se dice que el reparto es simple, cuando las cantidades repartidas, son proporcionales a números simples.

Ahora; dependiendo de la relación que exista entre la cantidad a repartir,  y las partes proporcionales; el reparto proporcional puede ser:

  • Reparto proporcional simple directo.
  • Reparto proporcional simple inverso.

Cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números, recibe el nombre de reparto proporcional compuesto; que más adelante lo veremos en detalle.

Reparto proporcional simple directo

El reparto es  directo, cuando a mayor sea el número proporcional; más le corresponde al beneficiario o viceversa.

Repartir el número “N”, entre las partes proporcionales: a, b, y c

Donde: “a”, “b”, y” c”  se le conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”,” z”;  la cantidad buscada,  que le corresponde a cada número proporcional.

Procedimiento

Existen dos métodos de cálculo, que son los siguientes:

Método de proporciones:

Este método consiste en formular proporciones de acuerdo con el siguiente  procedimiento:

  • Sumar las partes proporcionales, llamado también números proporcionales.

En nuestro caso sería:

a  +  b  +  c

  • Formar proporciones,  para cada uno de los números proporcionales, de la siguiente manera: La cantidad N, es  a la sumatoria de los números proporcionales; como la incógnita es a cada índice.

En nuestro caso sería:

 

Ejemplo:

Repartir  la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.

Solución:

La cantidad a repartir es N = 1000 euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas.  Como estos números deben de ser directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5; el cociente debe de ser constante, por consiguiente vamos a formar la proporción.

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 2 + 3 + 5 = 10

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las tres partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.

La forma de comprobar si el reparto ha sido bien hecho, es sumar las partes encontradas, y dará como resultado;  la cantidad a repartir.

En nuestro ejemplo: si sumamos 200 euros + 300 euros + 500 euros, esto me da como resultado 1000 euros; que es la cantidad a repartir inicialmente.

 

Método de reducción a la unidad:

Este método consiste en seguir el siguiente procedimiento.

  • Sumar los números proporcionales.

a  +  b  +  c

  • Determinar la constante de proporcionalidad.

  • Multiplicar la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales, y el resultado es el cociente de reparto, o la cantidad que corresponde a cada uno.

Ejemplo:

Tomemos el enunciado del  ejemplo anterior, para poder  apreciarlo mejor:

Repartir  la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S= 2 + 3 + 5 = 10

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades  que corresponde a cada uno.

Luego, las partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.

De la misma forma, si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir:

Comprobación:  200 euros + 300 euros + 500 euros = 1000 euros

Reparto proporcional simple inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional; menor le corresponde en el reparto, y viceversa.

Repartir el número “N” entre las partes proporcionales: “a”, “b”, y “c”

 

Donde: “a”, “b” y “c” se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”, “z” la cantidad buscada que le corresponde a cada número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional simple inverso, en reparto proporcional simple directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional simple directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Para entenderlo mejor, veamos con un ejemplo numérico.

Ejemplo:

Repartir el número 720 en 3 partes, que sean inversamente proporcionales a los números: 3, 4, y 6.

Solución:

1º   Vamos a convertir el reparto proporcional simple inverso, en reparto proporcional simple directo; para ello invertimos cada uno de los números proporcionales.

2º   Luego damos común denominador a los números 3, 4, y 6.

m.c.m.(3,4,6)= 12;  Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

Luego; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional simple directo, cuyos  números proporcionales son: 4, 3, y 2 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Método de proporciones:

La cantidad a repartir es N = 720

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 2; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 2 = 9

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

 

Luego, las tres partes buscadas son: 320, 240, y 160.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 320 euros + 240 euros + 160 euros = 720 euros

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 720

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 2.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 4 + 3 + 2 = 9

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades que corresponden a cada uno.

Luego, las partes buscadas son 320, 240, y 160 respectivamente.

Comprobación: 320 euros + 240 euros + 160 euros = 720 euros

 

Problemas:

1)   Un padre reparte 1680 euros en parte proporcionales a las edades de sus hijos, siendo estas    12, 10, y 20 años. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

2)   Dividir el número 158,4 euros en parte directamente proporcionales  a 1.6, 1.8, y 3.2 respectivamente.

3)   Repartir 1616 naranjas en partes directamente proporcionales a  los números: 1/4, 5/6, y 3/5.

4)   Repartir 1184 manzanas  inversamente proporcionales a: 2/3, 4/5, y 3 respectivamente.

5)   El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente: 3, 5, y 7. ¿Cuánto dinero recibió el que compro más boletos, si en total se repartió 1633 euros?

6)   Si al distribuir 4500 euros que sean inversamente proporcionales a 2, 3, 5, y 6. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y la menor de las partes?

7)   Tres socios invierten 50,000 euros, 70,000 euros, y 90000 euros respectivamente, en un negocio que, al cabo de un año, da 13230 euros de beneficios. ¿Cuánto se llevará cada uno?

8)   Ana ha recibido un plus de 136 euros por  haber trabajado 8 horas extras. ¿Cuánto recibirán Víctor y José que han realizado 15 y 12 horas extras respectivamente?

9)   Un padre decide repartir 399 euros entre sus tres hijos en partes proporcionales a las notas que obtuvieron sus tres hijos; si sus notas fueron 6, 8, y 7 respectivamente. Hallar cuanto le corresponde al menor.

10)  Un  instituto decide repartir un premio de 1274 euros, en forma inversamente proporcional  al número de tardanzas que han tenido los alumnos de un salón de clases. Si Juan ha tenido 4 tardanzas, Pablo 6 tardanzas, y Rafa 8 tardanzas  respectivamente en todo el curso. ¿Quién recibe menos, y cuánto?

Clave de respuestas:

1)    480 euros, 400 euros, y 800 euros.                  2) 38,4 euros;  43,2 euros;  76,8 euros

3)   240 naranjas, 800 naranjas, y 576 naranjas

4)  576 manzanas, 480 manzanas, y  128 manzanas          5)  345 euros                     6) 1250 euros

7)  3150 euros, 4410 euros, y 5670 euros              8 )  255 euros, y 204 euros           9)  114 euros

10)   Rafa recibe 294 euros