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Archivo mensual: septiembre 2012

Regla de tres

Regla de tres simple:

Es un procedimiento de cálculo, que nos permite comparar dos magnitudes proporcionales. Si las magnitudes proporcionales que se relacionan son directas, se le llama regla de tres simple directa, y si por el contrario;  las magnitudes que se relacionan son inversas, se le llama regla de tres simple  inversas.

Regla de tres simple directa:

Procedimiento:

  • Se ordena los datos y la incógnita.
  • Se forman dos razones dividiendo, en cada una, los valores pertenecientes a una misma magnitud.
  • Se construye la proporción igualando ambas razones.
  • Se calcula el valor de la incógnita

Como en toda proporción, el producto de los extremos, es igual al producto de los medios. Por lo tanto: Ejemplo: Una máquina fabrica 450 clavos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer  1800 clavos? Solución: (Cantidad clavos) es D.P. a (Tiempo) Luego:

Regla de tres simple inversa:

Procedimiento:

  • Se ordenan los datos y la incógnita.
  • Se forman dos productos de factores, entre los  valores de cada magnitud. (Recuerda que el producto de dichos factores es una constante)
  • Para construir la proporción hemos de invertir la razón de los valores de una de las magnitudes.
  • Se calcula el valor de la incógnita.

Ejemplo: Seis obreros hacen una obra en 18 horas; si se triplica el número de obreros, ¿Qué tiempo le tomaran en hacer la misma obra? Solución: Luego:

Regla de tres compuesta:

Es aquél procedimiento de cálculo,  que nos permite comparar más de dos magnitudes proporcionales. Cabe mencionar que en la regla de tres compuesta, se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa, inversa, o una combinación de ellas.

Procedimiento para resolver una regla de tres compuesta:

  • Se ordenan las magnitudes, los  datos y la incógnita.
  • Se  comparan cada par de magnitudes proporcionales,   con el par que contiene a la incógnita, y se establece el tipo de relación que existe entre las magnitudes proporcionales.
  • Luego se construye la serie de razones, tomando como razón común,  a la razón que contiene a la incógnita.
  • Se calcula la incógnita.

Sea las magnitudes A, B, y C.

si:

y además:

Luego se construye la serie de razones iguales, tomando en cuenta la razón común, que contiene a la incógnita.

Ejemplo:

Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 54 sillas, ¿Cuántos días necesitarán  60 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer 90 de las mismas sillas?

Solución:

  • A  más obreros trabajando la misma obra, lo harán en menos tiempo (La relación de magnitudes es inversa)
  • Si se incrementa el número de sillas, entonces lo terminarán en más días. ( La relación de las magnitudes  es directa)
  • Si se incrementa el número de hora para hacer un trabajo, entonces lo terminarán en menos días. ( La relación de las magnitudes es  inversa)

Luego, tenemos:

 

Problemas:

1.   Si 32 libros cuestan 1024 euros, ¿Cuánto se pagarán por 40 libros?

2.   Un coche tarda 9 horas en recorrer un trayecto a 80 km/hrs. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto a 45 km/hrs?

3.   Cierto número de ovejas son alimentados con 120 kg de pasto. Pero si disminuimos en 20 el número de ovejas, entonces se necesitarán solamente 80 kg de pasto. Hallar el número de ovejas.

4.   Una obra puede ser hecha por 25 obreros en 27 días. ¿Cuántos obreros hay que contratar para que la obra se acabe en 15 días?

5.   Juan ha comprado 13,5 kg de café por 81 euros, pero por error le envían 1 kg menos. ¿Cuánto debe de pagar?

6.   Para pavimentar 360 metros de carretera, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días necesitarán para pavimentar 240 metros de la misma carretera con 4 obreros menos?

7.   Si 180 hombres en 5 días, trabajando 8 horas diarias cada día, pueden hacer una zanja de 200 metros de largo, 3 metros de ancho, y 2 metros de profundidad. ¿En cuántos días, de 6 horas diarias, harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo, 4 de ancho, y 3 metros de profundidad?

8.   30 obreros han hecho la mitad de una zanja en 10 días. En ese momento abandonan el trabajo 10 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?

9.   Una cuadrilla de 35 obreros se comprometen a hacer una obra en 58 días, trabajando 7 horas diarias. 10 días después  de iniciado la obra se pidió que la obra quede terminada “x” días antes del plazo estipulado, para lo cual, se aumentaron 14 obreros más y trabajando 8 horas diarias terminan la obra en el nuevo plazo estipulado. Hallar “x”

10.   Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 6 días, ha lavado 1500 kg. De ropa. ¿Cuántos kilogramos de ropa lavará en 18 días trabajando 10 horas diarias?

Clave de respuestas:

1)    1280 euros                                           2)   16hrs                          3)   60 ovejas

4)   Se contrata 20 obreros                          5)   75 euros                     6)   18 días

7)   75 euros                       8 )   15 días                         9)   18 días          10)  5625 Kgr.

Proporcionalidad:

La proporcionalidad; es una relación entre dos magnitudes.

Magnitud:

Es todo aquello que es susceptible de medición.

Ejemplo:

La velocidad, el tiempo, la longitud, el volumen, la superficie, el peso, la estatura, etc.

Magnitudes proporcionales:

Dadas dos  magnitudes; podemos afirmar que son proporcionales, si al variar el valor de una magnitud, la otra magnitud variará en la misma proporción.

Magnitudes directamente proporcionales:

Decimos, que dos magnitudes son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir el valor de una  de ellas, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma proporción.

Ejemplo:

Observemos:

Como se puede apreciar, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que el cociente entre sus valores permanece constante.

En nuestro ejemplo;  observamos que se mantiene constante el valor  14 (Constante de proporcionalidad). Por consiguiente la magnitud costo, y la magnitud longitud son directamente proporcionales.

Magnitudes Inversamente proporcionales:

Decimos que dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de una magnitud, el valor de la otra magnitud quedará disminuida o incrementada en la misma proporción.

Ejemplo:

La velocidad (Km/hrs)  y el tiempo (hrs)

Ejemplo:

Si viajo de Gandía a Valencia a 80 km/ hrs, me demoro 1 hora, entonces si viajo a 40km/hrs demoro el doble,  y si viajo a 20 km/hrs demoraré el cuádruple, etc.

Observemos:

Como se aprecia, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales; el productos de sus valores de dichas magnitudes, se mantiene constante.

En nuestro caso, vemos que se mantiene constante el valor de 80, con lo cual la magnitud velocidad (km/hs) es inversamente proporcional al tiempo (hrs)

Ejercicios:

1.    Completa la siguiente tabla correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales.

2.    Completa la siguiente tabla de valores correspondientes  a dos magnitudes inversamente proporcional.

3.    Si 5 libros de matemáticas cuestan 175 euros, ¿Cuánto costará una docena de libros?

4.   Para preparar una tarta de manzana para 8 personas, se necesitan 12 manzanas y 400 gr de azúcar. ¿Cuántas manzanas y cuántos gramos de azúcar se necesitan para 6 personas?

5.   Carlos y Ana recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean son de 18 y 24 minutos respectivamente. La velocidad de Carlos es 72 metros/minuto, ¿Cuál será la velocidad de Ana?

6.   Una obra puede ser hecha por 26 obreros en 12 días. Si se quisiera hacer la obra en 8 días. ¿Cuántos obreros se necesitarán?

7.   Un ganadero tiene 540 vacas que puede alimentar durante 40 días. Si vende 180 vacas, ¿Durante cuántos días podrán alimentar al resto, dando la misma ración?

8.   Siete  envases de leche han costado 4,55 euros. ¿Cuántos cuesta tres?

9.   Ciento cincuenta gramos de mortadela cuestan 10,8 euros. ¿Cuánto costarán 450 gramos?

10.   Un camión ha recorrido 140 km en una hora y media. Si sigue a la misma velocidad, ¿Qué distancia recorrerá en  cuatro horas y media?.

11.   Una fuente ha tardado 56 segundos en llenar una garrafa de 4 litros. ¿Cuánto tardará en llenar un cántaro de 36 litros?

12.    Un taller con cinco maquinas laminadoras fábrica 750 mts2 de chapa al día. ¿Cuántos metros cuadrados fabricará cada día si adquiere dos maquinas más?

 

Clave de respuestas:

3)  420   euros                    4) 9 manzanas y 300 gramos de azúcar                  5)  54 mts/min

6)  39 obreros                   7) 60 días                            8 ) 1,95 euros                    9)  32,4 euros

10)  420 km                        11) 504 segundos            12) 1050 mt2

 

Razones y proporciones

Razón:

Es la comparación de dos cantidades, ya sea por cociente, o por diferencia.

Si la comparación de las cantidades, es por cociente, recibe el nombre  de razón geométrica.  Cabe resaltar que para poder comparar 2 cantidades, estas deben de tener las mismas unidades de medida.

Términos de la razón geométrica:

Ejemplo:

Comparar 15 metros de tela de algodón, con 5 metros de tela de seda.

Observación:

No hay que confundir  razón geométrica con la fracción:

Ejemplo:

En cambio:

 

Ejemplo:

Ahora; si la comparación de las cantidades es por diferencia, recibe el nombre  de razón aritmética:

Ejemplo.

Comparar las edades de Juan y María

32 años  – 15 años  =  17 años  (Razón aritmética)

Problemas:

1)  La razón geométrica entre 2 números es como 5 es  a 3, si el mayor de dichos números es 30, hallar el menor.

2)  La razón geométrica entre dos números es como 7 es a 3, hallar el mayor, si la razón aritmética es 28.

3)  Dos números son entre sí como 7 es a 11; si la suma de estos números es 108, hallar la razón aritmética de dichos números.

4)  Dos números son entre sí como 3 es a 7; si el producto de estos números es 189, hallar el menor de dichos números.

5)  Las edades actuales de María y Ana son proporcionales a 7 y 6; pero dentro de 4 años; dichas edades serán proporcionales a 9 y 8. Calcula la edad actual de Ana.

6)  La razón aritmética entre dos números es 40, si la razón geométrica entre dichos números es como 7 a 5, hallar el mayor de los números.

7)  Las edades de Manuel y José se encuentran en la relación de 5 a 4. Hace 5 años estaban en la relación de 7 a 5. Calcular la edad actual de Manuel.

8 )  La razón geométrica entre dos números es como 9 a 6, hallar la razón geométrica entre la suma y la diferencia de dichos números.

9)  Las edades  actuales de Javi y Víctor  se encuentran en la relación de 6 a 5. Hace 6 años estaban en la relación de 4 a 3. Calcular la edad de Víctor dentro de 4 años.

10)  Dos números son entre sí como 16 es a 9, si el producto de estos números es 3600, hallar la razón aritmética entre dichos números.

Clave de respuestas:

1)   18                    2)  49                             3)  24                     4)  9                          5)   12 años

6)  140                  7)  25 años                 8 )  5                      9 )  19 años           10)  35

 

Proporción:

Es la igualdad de dos razones.

Se lee: “a” es a  “b”, como “c “  es a  “ d”

Términos de una proporción:

K= constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones:

1.  En todo proporción geométrica se cumple, que el producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos.

Ejemplo:

2.  En toda proporción aritmética se cumple, que la suma de sus términos medios, es igual a la suma de sus términos extremos.

 

Ejemplo:

Clases  de proporciones:

    1.  Proporción discreta:

Es aquella, en la cual sus  4 términos de la proporción son diferentes.

Donde: a, b, c, y d se llaman cuarta proporcional.

Ejemplo:

Hallar la cuarta proporcional de 32, 8, y 16.

Luego, formamos la proporción geométrica así:

2.     Proporción continua:

Es aquella proporción, en la cual sus términos medios de la proporción son iguales.

Donde:

Ejemplo 1:

Hallar la tercia proporcional de 6 y 8.

Solución:

Formamos la proporción continua así:

 

Ejemplo 2:

Hallar la media proporcional de 12 y 2.

Solución:

Formamos la proporción geométrica así:

Ejercicios:

1.   Halla el valor de “x” en  cada una de las siguientes proporciones geométricas:

                                                                                 

                                                                             

2.   Halla el valor de “x” , en la siguiente  proporción geométrica:

3.   En la siguiente proporción aritmética:

La suma de los términos extremos es 17. Hallar 2x+y

 

Clave de respuesta:

1-a) 15                                 1-b) 3                                   1-c)  12                                 1-d)  7

 

1-e)  144                             1-f)  252                               2) 8                                        3)  17

 

Serie de razones geométricas iguales:

Se llama así a la igualdad de más de dos razones geométricas iguales:

Propiedades:

1.   En toda serie de razones geométricas continuas, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes; como cada antecedente es a  su respectivo consecuente.

Es decir la constante de proporcionalidad “k” no se altera.

2.   El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes; como cada antecedente es a su respectivo consecuente, elevados a un exponente igual a la cantidad de razones que intervienen en la serie.

Es decir la constante de proporcionalidad “K”, queda elevada a una cantidad igual al número de razones que interviene en la serie.

3.   En toda serie de razones geométricas iguales se cumple:

Cualquier combinación que se haga en una razón; lo mismo se tiene que hacer en la otra razón,  para que se mantenga la igualdad; por consiguiente la constante de proporcionalidad quedará afectada por la combinación que se dé en cada razón.

 

Ejercicios:

Calcular el valor de “b”

Hallar el valor de “c”

Hallar el valor de “a”

Hallar el valor de “b”

Hallar el valor de “a”

Calcular: a + b + c

Calcular: “a – b + c”

Clave de respuestas:

1)  24                         2)  16                          3 )  49                    4 )  20                    5 ) 27

6)  98                         7) 2                            8 )  30                    9)  4                       10)  20

 

Fracción Generatriz:

Sabemos que todo número decimal, ya sea exacto o periódico, proviene de una fracción;  y  a esta fracción irreductible,  se le conoce con el nombre de fracción generatriz.

Casos que se presentan:

Pasar de un número decimal exacto a fracción generatriz:

Para pasar de un número decimal exacto  a fracción generatriz,  escribimos primero como numerador al número dado sin la coma, y como denominador se escribe la unidad seguida de tantos ceros;  como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

 

Pasar de un número decimal periódico puro a fracción generatriz:

Para pasar de un número decimal periódico puro a fracción generatriz, escribimos primero como numerador al número dado sin las coma,  menos la parte entera, y como denominador se escribe tantos nueves; como cifras tenga el periodo (parte decimal que se repite).

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

 

Pasar de un número decimal periódico mixto a fracción generatriz:

Para pasar de un número decimal periódico mixto a fracción generatriz, escribimos primero como numerador,  al número dado sin  la coma, menos la parte entera  seguida de la cifras decimales no periódicas, y como denominador se pone tantos nueves, como cifras tenga la parte periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Ejemplo 1:

 

Ejemplo 2:

Ejercicios:

Grupo A:

Halla la fracción generatriz de:

a)  0,36                                 b)  0,524                              c)  5,6                                   d)  4,16

e)  3,62                                f)  36,6                                 g) 3,328                               h) 14,360

Grupo B:

Halla la fracción generatriz de:

                                                                                         

                                                                                        

Grupo C:

Halla la fracción generatriz  de:

                                                                                 

                                                                                 

Grupo D:

Halla el resultado de la siguiente operación, y exprésalo como fracción:

                                                       

                                              

Clave de respuesta:

Grupo  A:

a)  9/25                        b)  131/250                         c)  28/5                                d) 104/25

e) 181/50                    f)  183/5                              g) 416/125                          h) 359/25

Grupo  B:

a)  2/3                         b) 4/11                                 c)   142/333                         d)  369/1111

e)   16/11                   f)  395/99                            g)  701/333                         h)  48/11

Grupo C:

a)  1/6                         b)  7/55                          c)  368/2475                       d)  2162/4995

e)  22/15                   f) 643/450                    g)  1033/495                       h)  8303/2475

Grupo D:

a)   102/55               b)  97/55                             c)  58/15                              d)  337/45

e)  1093/165           f)  27847/4950                   g)  1298/45                       h)  763/150