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Archivo mensual: noviembre 2012

¿Cómo estudiar matemáticas con la ayuda de vídeos tutoriales?

Otra alternativa de estudio, son los vídeos tutoriales. Para esto te sugiero las siguiente:

1º  Desconéctate del Facebook, twiter, tuenti o cualquier otra red social que tengas; así como de  cualquier programa de chat  como el MSN o skype, etc.

2º  Apaga tú móvil y evita leer tus correo electrónicos, salvo que sea relacionado al curso que estudias.

3º  Siempre ten a la mano todos los materiales que vas a necesitar para estudiar matemáticas como son: cuadernos, lápiz, borrador, etc.

4º Apaga la radio, televisión o cualquier elemento que distraiga tú concentración; de ser preciso comunica a tú familia que estas estudiando y que necesitas silencio.

5º Mira y escucha la explicación, si no consigues  entender, vuelve a repetirlo cuantas veces sea necesario hasta que lo comprendas, de ser preciso pon pausa en un procedimiento y vuelve a repetirlo otra vez hasta que lo tengas claro.

6º Luego, trata de resolver el mismo ejercicio en tu cuaderno, sin ver el procedimiento del vídeo;  de conseguirlo, continúa con el siguiente vídeo; tomando en consideración la metodología anterior.

7º No trates de avanzar con los vídeos si no comprendes el anterior, se honesto contigo mismo; es la única forma de aprender a construir tu propio conocimiento.

8º Los ejercicios propuestos en los vídeos tutoriales debes de resolverlo.

9º Una vez resueltos los ejercicios propuestos de los vídeos tutoriales, resolverás los ejercicios o problemas de tú libro.

 

Marco Antonio Rojas Montoya

Director de matemáticas virtuales

Sistema métrico decimal

Antes de referirnos al sistema métrico decimal, pasaremos a dar algunas definiciones previas:

Magnitud:

Es todo que aquello, que es susceptible de medición.

Ejemplo:

  • La longitud  se puede medir en centímetros, metros, kilómetros, pies, pulgadas, etc.
  • El peso, puede ser medidos en gramos, kilogramos, etc.
  •  El volumen, puede ser medido en cm2, mts2, etc.

Medir:

Es la acción de comparar una magnitud con otra, por la cual la llamaremos unidad.

Medida:

Es el número de veces que contiene una magnitud a la unidad.

Si por ejemplo, quisiéramos medir  la longitud que existe,  de un palo de escoba;  escogeríamos como unidad de medida apropiada es este caso, al metro para medirla.

 

Sistema métrico decimal:

 

Antes;  cada país y en otros casos cada región usaban unidades de medidas diferentes, y esta diversidad dificulto las relaciones comerciales entre los pueblos.  Bien;  pues para acabar con estas dificultades en 1791, tras la revolución Francesa,  la academia de ciencias de París, propuso el sistema métrico decimal.

Posteriormente fue adoptado por otros países, a excepción de los países del habla inglesa, que se rigen por otro sistema, llamado  sistema inglés.

En el caso de España,  su empleo del sistema métrico decimal se hiso oficial en 1849.

El sistema métrico decimal;  se ha convertido en el sistema más moderno, completo, y mejor difundido universalmente; con lo cual,  se adopto internacionalmente en París (1889);  por la conferencia general de pesos y medidas; como el sistema internacional de unidades (SI).

Ahora, ustedes se  preguntarán; ¿Cómo funciona el sistema métrico decimal?

Y  la respuesta es muy simple; el sistema métrico decimal, es un sistema de unidades, en la cual los múltiplos y sub múltiplos de una determinada unidad de medida; están relacionadas entre sí, por múltiplos y sub múltiplos  de 10.

El sistema métrico decimal, lo utilizamos para medir las siguientes magnitudes:

 

Medidas de longitud:

La unidad de longitud, se usa para medir la distancia; su unidad principal es el metro (m), con sus múltiplos y sub múltiplos, como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al metro son:

  • Decámetro, que es 10 veces más grande que el metro.
  • Hectómetro, que es 100 veces más grande que el metro.
  • Kilómetro, que es 1000 veces más grande que el metro.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al metro son:

  • El decímetro es 10 veces más pequeña que el metro.
  • Centímetro es 100 veces más pequeña que el metro.
  • Milímetro es 1000 veces más pequeña que el metro.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

 

Ejemplo  1:

Pasar 30 metros a centímetros.

Solución:

Para pasar de metros a centímetros, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de dos ceros; debido a que entre el metro y el centímetro existe dos lugares de separación.

Luego sería:

30 x 100 = 3000 centímetros

 

Ejemplo  2:

Pasar 3650 milímetros (mm) a metros (m).

Solución:

Para pasar de milímetros a metros;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

Medidas de masa:

La unidad de masa se usa para medir el peso; su unidad principal es el gramo (gr), con múltiplos y sub múltiplos, como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al gramo son:

  • Decagramo, que es 10 veces más grande que el gramo.
  • Hectogramo, que es 100 veces más grande que el gramo.
  • Kilogramo, que es 1000 veces más grande que el gramo.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al gramo son:

  • El decigramo es 10 veces más pequeña que el gramo.
  • Centigramo es 100 veces más pequeña que el gramo.
  • Miligramo es 1000 veces más pequeña que el gramo.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

 

Ejemplo  1:

Pasar 50 gramos a centigramos.

Solución:

Para pasar de gramos a centigramos, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de dos ceros; debido a que entre el gramo y el centigramo existe dos lugares de separación.

Luego sería:

50 x 100 = 5000 centigramo

 

Ejemplo  2:

Pasar 5450 miligramos (mg) a gramo (g).

Solución:

Para pasar de miligramo a gramo;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

Medida de capacidad:

La unidad de capacidad se usa para medir los volúmenes;  su unidad principal es el litro (lt), con múltiplos u sub múltiplos, como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al litro son:

  • Decalitro, que es 10 veces más grande que el litro.
  • Hectolitro, que es 100 veces más grande que el litro.
  • Kilolitro, que es 1000 veces más grande que el litro.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al litro son:

  • El decilitro es 10 veces más pequeña que el litro.
  • Centilitro es 100 veces más pequeña que el litro.
  • Mililitro es 1000 veces más pequeña que el litro.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

 

Ejemplo  1:

Pasar 50 litros a mililitros.

Solución:

Para pasar de litros a mililitros, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de tres ceros; debido a que entre el litro y el mililitro existe tres lugares de separación.

Luego sería:

50 x 1000 = 5000 mililitros

 

Ejemplo  2:

Pasar 450 centilitros (cl) a litros (l).

Solución:

Para pasar de centilitros  a litros;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de dos ceros; debido a que entre el centilitro y el litro existe tres lugares de separación.

 

 

Medidas de superficie:

La unidad de superficie se utiliza para medir las áreas de las regiones planas, su unidad es el metro cuadrado (m2); con sus múltiplos y sub múltiplos como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al metro cuadrado son:

  • Decámetro, que es 100 veces más grande que el metro cuadrado.
  • Hectómetro, que es 10000 veces más grande que el metro cuadrado.
  • Kilómetro, que es 1000000 veces más grande que el metro cuadrado.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al metro cuadrado son:

  • El decímetro es 100 veces más pequeña que el metro cuadrado.
  • Centímetro es 10000 veces más pequeña que el metro cuadrado.
  • Milímetro es 1000000 veces más pequeña que el metro cuadrado.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

Ejemplo 1:

Pasar 2.5 hectómetros cuadrado  a centímetros cuadrados.

Solución:

Para pasar hectómetros cuadrado  a centímetros cuadrados, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de cuatro ceros; debido a que entre el metro y el centímetro existe dos lugares de separación.

Luego sería:

2.5 x 10000 = 25000 centímetros cuadrados

Ejemplo 2:

Pasar 36000 milímetros cuadrados (mm2)  a metros (m2).

Solución:

Para pasar de milímetros cuadrados  a metros cuadrados;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de seis ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

Medidas de volumen:

La unidad de volumen  se utiliza para medir el lugar que ocupa en el espacio,  los sólidos de tres dimensiones (largo, ancho, y alto);  su unidad,  es el metro cúbico (m3); con sus múltiplos y sub múltiplos como se muestra en la siguiente tabla:

 

 

Observamos que desde, los sub múltiplos superiores al metro cúbico son:

  • Decámetro, que es 1000 veces más grande que el metro cúbico.
  • Hectómetro, que es 1000000 veces más grande que el metro cúbico.
  • Kilómetro, que es 1000000000 veces más grande  el metro cúbico.

De la misma forma, los sub múltiplos inferiores al metro cuadrado son:

  • El decímetro es 1000 veces más pequeña que el metro cúbico.
  • Centímetro es 1000000 veces más pequeña que el metro cúbico.
  • Milímetro es 1000000000 veces más pequeña que el metro cúbico.

Por consiguiente, el problema de convertir unas unidades a otras, se reduce en multiplicar o dividir por la unidad, seguida de tantos ceros, como lugares haya entre ellas.

Ejemplo 1:

Pasar 3.3 hectómetros cúbicos  a centímetros cúbicos.

Solución:

Para pasar hectómetros cúbicos  a centímetros cúbicos, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por  la unidad seguida de seis ceros; debido a que entre el metro y el centímetro existe dos lugares de separación.

Luego sería:

3.3 x 1000000 = 3300000 centímetros cúbicos

Ejemplo 2:

Pasar 48000 milímetros cúbicos (mm3)  a metros cúbicos (m3).

Solución:

Para pasar de milímetros cuadrados  a metros cuadrados;  en este caso,  tenemos que dividir (Porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de nueve ceros; debido a que entre el milímetro y el metro existe tres lugares de separación.

 

 

Problemas:

1)    Expresa el equivalente de cada medida de longitud:

a)   4.5 km a metros                       b)  6.4 dam  a metros                    c)  36.7 mm  metros

d)  645 cm a metros                       e)  2350 mm a kilómetros            f)  32.8 hm a centímetro

2)   Pasar cada medida masa a la unidad que se le pide:

a)   3.5 kg a gramos                         b)  4.725 mg a gramos                   c)  0.36 dag a gramos

d)  1658 gr a kilogramos                e)  637 cg a gramos                         f)  3.5 dg a kilogramos

3)   Calcula las siguientes cantidades;  expresando su resultado en las unidades que se le pide:

a)  7.6 kl a litros                                b)  5265 ml a litros                           c)  0.45 dl a litros

d)  56.5 hl a litros                             e)  695 cl a mililitros                        f)  9.3 dl a centilitro

4)   La capacidad de una piscina es de 95 kl. Actualmente contiene 500 hectolitros. ¿Cuántos litros faltan para que se llene?

5)   Queremos llenar de vino un tonel de 6 dl de capacidad, con recipiente de 15 litros. ¿Cuántos recipientes de 15 litros necesitamos?

6)  Expresa el equivalente de cada medida de superficie:

a)  550 dm2 a  m2                             b)  5345 mm2  a  m2                        c)  5 m2 a  dm2

d)  46.5 cm2 a  mm2                        e)  495 cm2  a  dm2                          f)  9.3 dm2  a  mm2

7)  El área de un cuadrado, es le producto de lado por lado; calcula el área en cm2, y  dm2, si el lado mide:

a)  l = 3 cm                                          b)  l =  5 cm                                        c)  l = 8 cm

8)   El suelo de una pista de gimnasia es un cuadrado cuyo lado mide 30 m. Determina su área en dm2.

9)   Expresa el equivalente de cada medida de volumen:

a)  650 dm3 a  m3                             b)  5325 mm3  a  m3                        c)  6 m3  a  dm3

d)  5.45 cm3 a mm3                         e)  565 cm3 a  dm3                           f)  0.624 dm3  a  mm3

10)  Calcular el volumen de una piscina, cuyas dimensiones son: 15 metros de largo, 10 metros de ancho, y 4 metros de profundidad; expresados en hm3.

 

Problemas de aleación

Aleación

Una aleación es una mezcla  homogénea de dos o más metales;  que para mezclarlos,  se tiene que fundir dichos metales,  a determinadas temperaturas; dependiendo,  del tipo de metal.

Si uno de los metales u ingredientes, es el mercurio; entonces a la aleación se le denomina amalgama.

 

Metal fino:

Se llaman así, a aquellos metales preciosos, como el oro, la plata, el platino; que intervienen como ingrediente en una aleación.

Estos metales preciosos se funden con otro metal inferior, llamado metal ordinario, como son: el cobre, el zinc, y el níquel.

Al peso del metal ordinario o inferior, recibe el nombre de liga.

 

Ley de una aleación:

Es la relación entre el peso del metal fino, entre el peso total de la aleación. Es decir:

Donde:

L:            Ley de aleación

F:            Peso del metal fino

P:            Peso de la aleación

 

Problemas de aleación:

Para resolver problemas de aleación, es un proceso similar al de mezclas; solo que hay que tener en cuenta, que el precio de la mezcla, en nuestro caso, equivale a la ley de aleación.

 

Ejemplo:

Una aleación contiene  15 gramos de plata pura, 9 gramos de plata de ley 0,750 y 18 gramos de plata de ley 0,850. ¿Cuál es la ley de la aleación?

Solución:

Sabemos que el peso del metal fino, es el producto del peso por la ley respectiva:  F = P  x  L

Luego la ley de aleación:

Luego, la ley de la aleación es 0,763

 

Ley en kilates de los metales finos:

La palabra kilate significa 1/24 del peso total.

Ejemplo:

Una pulsera de oro de 15 kilates tiene  15/24 del peso total que son de oro puro, y el resto 9/24, son de metal inferior.

Ejemplo:

Un aro de matrimonio de 18 kilates tiene 18/24 del peso total que son de oro puro, y el resto 6/24 son de liga.(recordemos que el peso de los metales inferior, reciben el nombre de liga).

El oro puro se considera que son de  24 kilates.

La ley de kilates  también puede ser expresado en milésimas, simplemente dividiendo el número de kilates  entre 24.

Ejemplo:

El aro de matrimonio de 18 kilates, se trata de oro de 18/24 = 0,750

Entonces; siempre se cumple:

Ejemplo 2:

¿Qué cantidad de plata 0,950 y 0,750 de ley serán necesarias para conseguir 8 kg de plata de ley 0,900?

Solución:

Pues al igual que en mezclas, se cumple:

Pérdida de peso de un tipo de plata (0,950 – 0,900) = Ganancia del otro tipo de plata (0,900 – 0,750)

Es decir:

(0,950 – 0,900) x P1= (0.900 – 0,750) x P2

Luego:

Luego:

Para obtener  8kg.  De plata de ley 0,900;  se tiene que hacer una aleación de, 6 kg. De plata de 0,950 de ley; con 2 kg. De plata de 0,750 de ley.

 

Problemas:

1)    Una aleación contiene 20 gramos de oro puro y 12 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

2)   Un aro de matrimonio  es de  ley 0,850 y contiene 8 gramos de oro puro. ¿Cuánto pesa el aro de matrimonio?

3)   Una cadena de oro pesa 90 gramos. Si es oro de 700 milésimas. ¿Cuántos gramos de oro puro contiene la cadena?

4)   Un lingote de plata pesa 800 gramos, y contiene 560 gramos de plata pura. ¿Cuál es la ley de la aleación?

5)   Una aleación contiene 16 gramos de oro puro y 9 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

6)   Una aleación contiene 30 gramos de oro puro y 15 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación?

7)   Una aleación contiene 30 gramos de plata pura, 18 gramos de plata de ley 0,800 y 36 gramos  de plata de ley 0,950. ¿Cuál es la ley de la aleación?

8 )   ¿Qué cantidades de plata de 0,950 y 0,700 de ley serán necesarias para conseguir 4 kg. De plata de ley 0,850?

9)   Se tiene una aleación de 36 gramos de plata pura, con 14 gramos de zinc. ¿Cuál es la ley de la aleación?

10)   Una cadena de oro es de ley 0,850 y contiene 12 gramos de oro puro. ¿Cuánto pesa la cadena de oro?

Clave de respuestas:

 

1)        0,625                          2)   9,412 gr.                       3)    63 gr.                            4)   0,7

5)   0,64                                 6)   0,667                             7)   0,936

8  )   Para obtener  4kilogramos de plata de ley 0,850, son necesarias 2,4 kilogramos de plata de ley 0,950; y 1,6 kilogramos de plata de ley 0,700.

9)   0,72                               10)   14,118 gr.

Problema de mezclas

Mezclas:

Hablamos de mezcla, cuando existe la unión de dos o más sustancias (ingredientes), en cantidades diferentes; que manteniendo  su naturaleza, se cumple que: la suma de las cantidades mezcladas, son iguales a la cantidad de la mezcla.

 

Problema de mezcla:

En este tipo de problemas  lo que buscamos,  es el precio al que se debe de vender una mezcla de dos o más productos de distinto valor; de manera que al final,  no se gane ni se pierda.

Ejemplo:

Antonio mezcla  6 kg de chocolate blanco  cuyo precio es de 5 euros /kg.  Con 4 kg de chocolate negro, de 7 euros/kg. ¿A como se vendería el kilo de la mezcla?

Solución:

Como se aprecia, lo que se gana vendiendo más caro en  chocolates negros, es igual a lo que se pierde vendiendo  más barato en chocolates blancos.

Es decir:

 

 

Problema inverso de mezclas:

En este tipo de problemas, se presenta cuando se conoce el precio de la mezcla (PM) , y los precios por unida de los ingredientes (p1, p2); y lo que se busca es determinar las cantidades (C1, C2) de cada ingrediente.

Ejemplo:

Se mezcla arroz de 0,8 euros/kilogramo, con arroz de 1,30 euros /kilogramo, y se obtiene 100 kilogramos de arroz de 1,1 euros / kilogramo. ¿Qué cantidad de arroz de cada tipo se debe de mezclar?

Solución:

Consideremos que el precio de la mezcla se encuentra entre:

  • Pérdida total en C1:        (1,3 euros/kg – 1,1 euros/kg) x (C1)
  • Ganancia total en C2:     (1,1 euros/kg – 0,8 euros/kg) x (C2)
  • Como: Pérdida total = Ganancia total

Luego:

  • (1,3 euros/kg – 1,1 euros/kg) x (C1) = (1,1 euros/kg – 0,8 euros/kg) x (C2)

De donde:

Luego, se utilizo en la mezcla  60 kg  de arroz de 1,3 euros/kg es, y 40kg de arroz de 0.8 euros/kg.

 

Problemas:

1.   Un bodeguero mezcla 600 litros de vino de 2.8 euros/ litros, con 400 litros de otro vino de 6,2 euros/litro ¿A cuánto sale el litro de la mezcla?

2.   Cuántos litros de colonia de 60 euros/ litro hay que mezclar, con un litro de colonia de 90 euros /litro; para que la mezcla resulte a 70 euros/litro.

3.   Un tendero observa que el arroz de 0.8 euros el kilogramo no se vende, mientras que el  arroz  de 1,30 euros el kilogramo es el preferido por las amas de casa. Para que no se le quede,  mezcla 50 kilogramos de arroz  de 0,8 euros, con 40 kilogramos de arroz de 1,30 euros. Para no perjudicarse, ¿A cómo debe de vender el kilogramo de la mezcla?

4.   Un vendedor de vino cuenta con 40 litros de vino de 3,2 euros/litro, 80 litros de vino de 4.5 euros/litro, y 100 litros de vino de 2,2 euros /litro. Para acabar con todo su vino al mismo tiempo, decide mezclarlo. ¿A cómo debe de vender el litro de la mezcla, para no perjudicarse?

5.   Cuánto café de 15,8 euros/kilogramo hay que mezclar con 6 kilos de café de 9,8 euros/kilogramo para que el kilo de mezcla de café salga a 12 euros el kilogramo.

6.   ¿Cuál es el precio de la mezcla que, que resulta de combinar 46 kg de café a 8,7 euros/kg, con 32 kg de café  a 10,6 euros/kg, y con 52 kg de café a 13,4 euros/kg.

7.  Hallar las cantidades de café de 14,3 euros/kg., de 13,7 euros/kg., y de 9,5 euros/kg que será necesario añadir a 42 kg. De café de 10 euros/kg; para que la mezcla se pueda vender a 13 euros /kg. Sin ganar, ni perder.

8.   Se mezcla un vino de 2,8 euros/litro, con otro de 5,7 euros/litro; resultando en total 127,6 litros  de 3,5 euros/litro. ¿Qué cantidad se tomo de cada uno?

9.   Se ha mezclado 3 litros de colonia de 60 euros/litro, con un litro de colonia de 100 euros/litro. ¿Cuál es el precio de la mezcla?

10.  Un confitero mezcla 8 kilogramos de caramelos de naranja, cuyo precio es de 5 euros/kg, con 4 kilos de caramelos de limón, de 8 euros/kg. ¿A cuánto sale el kilo de la mezcla?

 

Clave de respuesta:

1)    4,16 euros/litro                        2)   2 litros                           3)  1,02 euros/kg

4)  3,22 euros/litro                          5)    3,47 kg.                        6)   11,05  euros/kg.

7)   La mezcla contiene 510 kg de café, de los cuales: 210 kg. Son de 14,3 euros/kg., 180 kg son de 13,7 euros/kg., 78 kg. Son de 9,5 euros/kg.

8 )   30,8 litros de vino de 5,7 euros/litro,  96,8 litros de vino de 2,8 euros/litro.

9)   70 euros/litro.                           10)   6 euros/kg.