Get Adobe Flash player

Matemáticas 2º eso

Problemas de aleación

Aleación

Una aleación es una mezcla  homogénea de dos o más metales;  que para mezclarlos,  se tiene que fundir dichos metales,  a determinadas temperaturas; dependiendo,  del tipo de metal.

Si uno de los metales u ingredientes, es el mercurio; entonces a la aleación se le denomina amalgama.

 

Metal fino:

Se llaman así, a aquellos metales preciosos, como el oro, la plata, el platino; que intervienen como ingrediente en una aleación.

Estos metales preciosos se funden con otro metal inferior, llamado metal ordinario, como son: el cobre, el zinc, y el níquel.

Al peso del metal ordinario o inferior, recibe el nombre de liga.

 

Ley de una aleación:

Es la relación entre el peso del metal fino, entre el peso total de la aleación. Es decir:

Donde:

L:            Ley de aleación

F:            Peso del metal fino

P:            Peso de la aleación

 

Problemas de aleación:

Para resolver problemas de aleación, es un proceso similar al de mezclas; solo que hay que tener en cuenta, que el precio de la mezcla, en nuestro caso, equivale a la ley de aleación.

 

Ejemplo:

Una aleación contiene  15 gramos de plata pura, 9 gramos de plata de ley 0,750 y 18 gramos de plata de ley 0,850. ¿Cuál es la ley de la aleación?

Solución:

Sabemos que el peso del metal fino, es el producto del peso por la ley respectiva:  F = P  x  L

Luego la ley de aleación:

Luego, la ley de la aleación es 0,763

 

Ley en kilates de los metales finos:

La palabra kilate significa 1/24 del peso total.

Ejemplo:

Una pulsera de oro de 15 kilates tiene  15/24 del peso total que son de oro puro, y el resto 9/24, son de metal inferior.

Ejemplo:

Un aro de matrimonio de 18 kilates tiene 18/24 del peso total que son de oro puro, y el resto 6/24 son de liga.(recordemos que el peso de los metales inferior, reciben el nombre de liga).

El oro puro se considera que son de  24 kilates.

La ley de kilates  también puede ser expresado en milésimas, simplemente dividiendo el número de kilates  entre 24.

Ejemplo:

El aro de matrimonio de 18 kilates, se trata de oro de 18/24 = 0,750

Entonces; siempre se cumple:

Ejemplo 2:

¿Qué cantidad de plata 0,950 y 0,750 de ley serán necesarias para conseguir 8 kg de plata de ley 0,900?

Solución:

Pues al igual que en mezclas, se cumple:

Pérdida de peso de un tipo de plata (0,950 – 0,900) = Ganancia del otro tipo de plata (0,900 – 0,750)

Es decir:

(0,950 – 0,900) x P1= (0.900 – 0,750) x P2

Luego:

Luego:

Para obtener  8kg.  De plata de ley 0,900;  se tiene que hacer una aleación de, 6 kg. De plata de 0,950 de ley; con 2 kg. De plata de 0,750 de ley.

 

Problemas:

1)    Una aleación contiene 20 gramos de oro puro y 12 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

2)   Un aro de matrimonio  es de  ley 0,850 y contiene 8 gramos de oro puro. ¿Cuánto pesa el aro de matrimonio?

3)   Una cadena de oro pesa 90 gramos. Si es oro de 700 milésimas. ¿Cuántos gramos de oro puro contiene la cadena?

4)   Un lingote de plata pesa 800 gramos, y contiene 560 gramos de plata pura. ¿Cuál es la ley de la aleación?

5)   Una aleación contiene 16 gramos de oro puro y 9 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de la aleación?

6)   Una aleación contiene 30 gramos de oro puro y 15 gramos de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación?

7)   Una aleación contiene 30 gramos de plata pura, 18 gramos de plata de ley 0,800 y 36 gramos  de plata de ley 0,950. ¿Cuál es la ley de la aleación?

8 )   ¿Qué cantidades de plata de 0,950 y 0,700 de ley serán necesarias para conseguir 4 kg. De plata de ley 0,850?

9)   Se tiene una aleación de 36 gramos de plata pura, con 14 gramos de zinc. ¿Cuál es la ley de la aleación?

10)   Una cadena de oro es de ley 0,850 y contiene 12 gramos de oro puro. ¿Cuánto pesa la cadena de oro?

Clave de respuestas:

 

1)        0,625                          2)   9,412 gr.                       3)    63 gr.                            4)   0,7

5)   0,64                                 6)   0,667                             7)   0,936

8  )   Para obtener  4kilogramos de plata de ley 0,850, son necesarias 2,4 kilogramos de plata de ley 0,950; y 1,6 kilogramos de plata de ley 0,700.

9)   0,72                               10)   14,118 gr.

Problema de mezclas

Mezclas:

Hablamos de mezcla, cuando existe la unión de dos o más sustancias (ingredientes), en cantidades diferentes; que manteniendo  su naturaleza, se cumple que: la suma de las cantidades mezcladas, son iguales a la cantidad de la mezcla.

 

Problema de mezcla:

En este tipo de problemas  lo que buscamos,  es el precio al que se debe de vender una mezcla de dos o más productos de distinto valor; de manera que al final,  no se gane ni se pierda.

Ejemplo:

Antonio mezcla  6 kg de chocolate blanco  cuyo precio es de 5 euros /kg.  Con 4 kg de chocolate negro, de 7 euros/kg. ¿A como se vendería el kilo de la mezcla?

Solución:

Como se aprecia, lo que se gana vendiendo más caro en  chocolates negros, es igual a lo que se pierde vendiendo  más barato en chocolates blancos.

Es decir:

 

 

Problema inverso de mezclas:

En este tipo de problemas, se presenta cuando se conoce el precio de la mezcla (PM) , y los precios por unida de los ingredientes (p1, p2); y lo que se busca es determinar las cantidades (C1, C2) de cada ingrediente.

Ejemplo:

Se mezcla arroz de 0,8 euros/kilogramo, con arroz de 1,30 euros /kilogramo, y se obtiene 100 kilogramos de arroz de 1,1 euros / kilogramo. ¿Qué cantidad de arroz de cada tipo se debe de mezclar?

Solución:

Consideremos que el precio de la mezcla se encuentra entre:

  • Pérdida total en C1:        (1,3 euros/kg – 1,1 euros/kg) x (C1)
  • Ganancia total en C2:     (1,1 euros/kg – 0,8 euros/kg) x (C2)
  • Como: Pérdida total = Ganancia total

Luego:

  • (1,3 euros/kg – 1,1 euros/kg) x (C1) = (1,1 euros/kg – 0,8 euros/kg) x (C2)

De donde:

Luego, se utilizo en la mezcla  60 kg  de arroz de 1,3 euros/kg es, y 40kg de arroz de 0.8 euros/kg.

 

Problemas:

1.   Un bodeguero mezcla 600 litros de vino de 2.8 euros/ litros, con 400 litros de otro vino de 6,2 euros/litro ¿A cuánto sale el litro de la mezcla?

2.   Cuántos litros de colonia de 60 euros/ litro hay que mezclar, con un litro de colonia de 90 euros /litro; para que la mezcla resulte a 70 euros/litro.

3.   Un tendero observa que el arroz de 0.8 euros el kilogramo no se vende, mientras que el  arroz  de 1,30 euros el kilogramo es el preferido por las amas de casa. Para que no se le quede,  mezcla 50 kilogramos de arroz  de 0,8 euros, con 40 kilogramos de arroz de 1,30 euros. Para no perjudicarse, ¿A cómo debe de vender el kilogramo de la mezcla?

4.   Un vendedor de vino cuenta con 40 litros de vino de 3,2 euros/litro, 80 litros de vino de 4.5 euros/litro, y 100 litros de vino de 2,2 euros /litro. Para acabar con todo su vino al mismo tiempo, decide mezclarlo. ¿A cómo debe de vender el litro de la mezcla, para no perjudicarse?

5.   Cuánto café de 15,8 euros/kilogramo hay que mezclar con 6 kilos de café de 9,8 euros/kilogramo para que el kilo de mezcla de café salga a 12 euros el kilogramo.

6.   ¿Cuál es el precio de la mezcla que, que resulta de combinar 46 kg de café a 8,7 euros/kg, con 32 kg de café  a 10,6 euros/kg, y con 52 kg de café a 13,4 euros/kg.

7.  Hallar las cantidades de café de 14,3 euros/kg., de 13,7 euros/kg., y de 9,5 euros/kg que será necesario añadir a 42 kg. De café de 10 euros/kg; para que la mezcla se pueda vender a 13 euros /kg. Sin ganar, ni perder.

8.   Se mezcla un vino de 2,8 euros/litro, con otro de 5,7 euros/litro; resultando en total 127,6 litros  de 3,5 euros/litro. ¿Qué cantidad se tomo de cada uno?

9.   Se ha mezclado 3 litros de colonia de 60 euros/litro, con un litro de colonia de 100 euros/litro. ¿Cuál es el precio de la mezcla?

10.  Un confitero mezcla 8 kilogramos de caramelos de naranja, cuyo precio es de 5 euros/kg, con 4 kilos de caramelos de limón, de 8 euros/kg. ¿A cuánto sale el kilo de la mezcla?

 

Clave de respuesta:

1)    4,16 euros/litro                        2)   2 litros                           3)  1,02 euros/kg

4)  3,22 euros/litro                          5)    3,47 kg.                        6)   11,05  euros/kg.

7)   La mezcla contiene 510 kg de café, de los cuales: 210 kg. Son de 14,3 euros/kg., 180 kg son de 13,7 euros/kg., 78 kg. Son de 9,5 euros/kg.

8 )   30,8 litros de vino de 5,7 euros/litro,  96,8 litros de vino de 2,8 euros/litro.

9)   70 euros/litro.                           10)   6 euros/kg.

 

Interés

Se llama interés al beneficio  o ganancia que se obtiene del dinero prestado. Este beneficio o ganancia, es directamente proporcional a la cantidad prestada, y al tiempo que dura el préstamo.

Interés simple:

Es el beneficio o ganancia que se obtiene del dinero prestado, por un tiempo determinado; debido únicamente al capital inicial.

El interés simple (I), es proporcional al capital inicial (c), rédito o tasa de interés (r), y el periodo de tiempo prestado (t).

Su fórmula está dada por:

Elementos:

Capital (C): Es la cantidad prestada.

Rédito (r): Es el beneficio que se obtiene por  100 euros, en el lapso de un año, se expresa en porcentajes.

Tiempo (t): Es el tiempo prestado del dinero.

Interés (I): Es el beneficio que se obtiene por el préstamo.

Pero; veamos con un ejemplo, de donde sale esta fórmula:

Ejemplo:

Un banco ofrece un beneficio de 6 euros por cada 100 euros, que se ingresan durante un año. ¿Qué beneficio obtendríamos si depositamos 450 euros, durante 5 años?

Solución:

Observa el  siguiente cuadro, y notaras que estamos en un caso de proporcionalidad directa:

Resumiendo tenemos:

Si quisiéramos llevarlo a una fórmula, tenemos lo siguiente:

  • Para el tiempo en 1 año:

  • Para el tiempo en 12 meses:

Recordemos que un año tiene 12 meses; y es  ese es el valor que vamos a considerar en la magnitud tiempo, de la siguiente manera:

  • Para el tiempo en días:

Recordemos que el año comercial tiene 360 días; y es  ese es el valor que vamos a considerar en la magnitud tiempo, de la siguiente manera:

Problemas:

1.   ¿Cuánto dinero tengo para meter en un banco, que da el 4% anual, para que en dos años me produzca un interés de 500 euros.

2.   Si ahora tengo 2500 euros y los coloco en el banco al 8% anual, ¿Qué cantidad tendré en mi cuenta, dentro de un  año?

3.   Hallar el interés que produce un capital de 12400 euros, prestado al 5% anual, durante 4 años.

4.   ¿Cuál es el capital que colocado al 4% durante 86 días, ha producido 234,59 euros de interés?

5.   ¿A qué porcentaje hay que colocar 3600 euros, para obtener 350 euros de interés en 16 meses?

6.   ¿Durante cuánto tiempo hay que colocar 2450 euros al 6,25% anual para obtener 366 euros de interés?

7.   María le presta a Ana 2000 euros al 6% anual durante 3 años. Al cabo de ese tiempo: ¿Cuánto ganó María?, ¿Cuánto acumulo María?

8.   Calcular el capital, sabiendo que su interés es del 4% durante 92 días es 68 euros.

9.   Hallar el interés que se obtiene al prestar 8500 euros al 3% trimestral, durante un año y 2 meses.

10.   ¿Después de cuánto tiempo un capital de 3670 euros, al 5% trimestral produce una ganancia de 10276 euros.

Clave de respuestas:

1)   6250 euros                  2)  200 euros                     3)  2480 euros                   4)  24550 euros

5)  7,29%                           6)  2,39 años                      7)  María ganó 360 euros, y acumulo 2360 euros

8 )  6652,17 euros            9)  1190 euros                   10)  14 años

Porcentajes

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción, que tiene por denominador a 100.  Su símbolo del porcentaje es (%);  y  sirve para indicar,  “de cada 100 unidades”; tanto hay de dicho número. Por esa razón también se le conoce con el nombre del “tanto por ciento

Es decir, que nos sirve para definir relaciones, entre dos cantidades.

Veamos ahora  las distintas formas que podemos enfocar los porcentajes:

 

Un porcentaje,  es una fracción del total:

Sabemos que:

“a%”: significa que de cada 100 unidades, tomamos “a”

Ejemplo:

 

Si buscamos calcular el “a%” de una cantidad “C” (a% de C):

  • Se pone primero el tanto por ciento como fracción.

 

  • Y luego se calcula esa fracción de la cantidad:

Ejemplo 1:

Hallar el 35% de 350.

Solución:

 

Como se puede apreciar en el ejemplo;  el término “de” o “del”,  implica multiplicación

Ejemplo 2:

Hallar el 15% de 650 + 25% de 650

Solución:

En este ejemplo, notamos que el número 650 es común a ambos sumando, con lo cual podemos factorizar.

Luego tenemos:

 

En resumen; sólo se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.

 

Un porcentaje,  supone una relación de proporción:

Al tomar un mismo tanto por ciento de distintas cantidades, observamos que el total y la parte tomada, son siempre directamente proporcionales, con lo cual los cocientes de dichos valores siempre será una constante. Esto nos permite construir proporciones, para calcular los porcentajes.

Ejemplo:

Tomemos el  25% de distintas cantidades.

 

 

Luego, podemos construir las proporciones  para calcular los porcentajes:

 

 

Veamos los diferentes problemas de porcentajes, que se pueden presentar:

 

Cálculo del total, conociendo la parte:

 

Si como datos no conocemos el total, y sabemos la parte asociada a determinado porcentaje. ¿Cómo hallaremos el total?

Para entenderlo mejor, vamos a explicarlo a través de un ejemplo numérico.

Ejemplo:

Hoy han faltado en un salón de clases 6 alumnos de matemáticas, lo que supone un 15 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en  total del aula?

Solución:

Lo que haremos es formar la proporción, del enunciado del problema.

 

 

Calculo del porcentaje, conociendo la parte y el total:

 

Conociendo el total, se ha tomado una parte determinada, ¿Qué porcentaje se habrá tomado?

Ejemplo:

En las últimas elecciones presidenciales, de un censo de 24500 personas, el presidente actual recibió votos de 19500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyo al presidente electo?

Solución:

 

Luego; el presidente electo,  recibió el  79.59% de los votos a su favor.

 

Aumentos porcentuales:

 

¿En que se convierte una cantidad tras ser aumentada a un cierto porcentaje?

Para poder  apreciarlo mejor la explicación, vayamos a un ejemplo numérico.

Ejemplo:

El coste de una portátil esta a 450 euros, si le incrementamos el margen de ganancia en un 30%. ¿A qué precio se venderá?

Solución:

 

Primer método:

 

Luego:

Precio venta de portátil = 450 euros + 135 euros = 585 euros

 

Segundo método:

Como el coste representa el 100%; al aumentar en un 30% de ganancia, el precio de venta representará el 130%, luego tenemos:

 

 

En conclusión:

Al aumentar una cantidad en un “a%”; equivale a calcular el “(100+a) % de dicha cantidad.

 

Ejemplo 2:

Una camisa cuesta 54 euros  tras sufrir una subida del 15% ¿Cuántos costaba antes de la subida?

Solución:

 

 

Disminuciones  porcentuales:

 

¿En que se convierte una cantidad, tras ser disminuida un cierto porcentaje?

Vayamos a un ejemplo numérico, para que se entienda mejor la explicación.

Ejemplo:

En un centro comercial se, se anuncia la rebaja del 20% en todos sus artículos. ¿Cuál será el precio rebajado de una camisa, que se exponer en el escaparate a 65 euros?

Solución:

Primer método:

 

 

Segundo método:

Como el coste representa el 100%; al disminuir en un 20% de ganancia, el precio de venta representará el 80%, luego tenemos:

 

 

En conclusión:

Al disminuir una cantidad en “a%”, equivale a calcular el (100 – a) % de dicha cantidad.

 

Descuentos sucesivos:

 

Hay que tomar en cuenta; que cada descuento se hace sobre lo que ha quedado, después del descuento anterior.

Ejemplo:

Un producto valorado en 600 euros, ha sufrido dos descuentos sucesivos del 30%, y 20%. ¿A qué único descuento equivale?

Solución:

1º descuento:

 

 

2º descuento:

 

 

Luego,  el valor del producto final es de 320 euros.; Con lo cual, este valor representa:

 

 

Luego; el descuento sucesivo de 30%, y 20% equivale a un único descuento de:

100% – 56% = 44%

 

Aumentos sucesivos:

 

Para los aumentos sucesivos, se procede de la forma similar de los descuentos sucesivos. Cada aumento se hace sobre lo que ha quedado, después del incremento anterior.

Ejemplo:

Un producto valorado en 800 euros, ha sufrido dos aumentos  sucesivos del 20%, y 10% respectivamente. ¿A qué único aumento equivale?

Solución:

1º aumento:

 

 

2º aumento:

 

 

Luego,  el valor del producto final es de 1056 euros.; Con lo cual, este valor representa:

 

 

Luego; el  aumento  sucesivo de 20%, y 10% equivale a un único aumento de:

132% – 100% = 32%

 

Problemas sobre precios de compra y venta:

 

El porcentaje, tiene mucha aplicación en los problemas de precio de venta o de compra, que se presenta en la vida diaria.

Para ello, vamos a definir algunos conceptos básicos que debemos de conocer:

Precio de compra (Pc): Es el valor que se adquiere o se compra de una mercadería.

Precio de venta (Pv): Es el valor que se vende, de una mercadería.

Ganancia o beneficio (g): Es la diferencia entre el Pv – Pc; es decir: g = Pv – Pc

Pérdida (p): Es la diferencia entre el Pc – Pv; es decir: p = Pc – Pv

 

Casos que se presentan:

 

Hallar el precio de venta, conociendo el % de ganancia o pérdida:

Ejemplo:

Ana ha ganado 5400 euros al vender un terreno con el 30% de ganancia. ¿Cuál es el precio de venta?

Solución:

Del enunciado deducimos que la ganancia g= 5400 euros.

Sabemos que:  g=30%del Pc

Es decir:

 

 

Luego:

 

 

Hallar el precio de compra, conociendo el % de la ganancia o pérdida:

Ejemplo:

José vende su auto por 6000 euros, perdiendo un 40%. Hallar el precio de compra y la pérdida?

Solución:

Sabemos:

 Pv = Pc – p …………..(1)

Del enunciado, deducimos que:

 

 

Luego, reemplazando la expresión (2), en (1) tenemos:

 

 

Luego para calcular la pérdida, reemplazamos el valor del PC=10000 euros, en la expresión (2)

 

 

Hallar el porcentaje de la ganancia o pérdida, conociendo el precio de venta, y el precio de costo:

 

En este caso, de los datos deducimos la ganancia o pérdida, y luego se plante la proporción, buscando el porcentaje del precio de compra.

Ejemplo:

Juan compro un televisor por 650 euros, y lo vendió por 520 euros. Hallar el porcentaje de pérdida.

Sabemos que:  Pérdida = Pc – Pv

Luego:

Pérdida = 650 euros – 520 euros = 130 euros.

Ahora buscaremos, que % de 650, es 130 euros.

Luego:

 

 

Luego, la pérdida representa un 20% del precio de compra.

 

Problemas:

1.    Un artículo que costaba  86 euros, ha subido un 16%. ¿Cuánto costará ahora?

2.    Un Cocina cuesta 680 euros, tras sufrir una subida del 16%. ¿Cuánto costaba antes de la subida?

3.   En un salón de clases hay 38 entre alumnos, y alumnas, Hoy han faltado 5 alumnos. ¿Cuál es porcentaje de ausencias?

4.   En un pueblo de 8600 habitantes, el 78% están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?

5.   Una fabrica que se dedica a la exportación de baldosas, tenía hace 6 años 325 trabajadores. Con la crisis económica, ha tenido que reducir  en un 20% la plantilla de  sus trabajadores, para hacer frente a situación económica. ¿Cuántos trabajadores tienen actualmente?

6.  Un informático ganaba 1500 euros en el mes de mayo, después de titularse en su universidad, recibió un aumento de 30% sobre su sueldo de mes de junio. ¿Cuál será su sueldo este mes?

7.   Un comerciante vende a 60 euros un lote de mercaderías, ofreciendo un aumento del 20% y luego un descuento del 20%. ¿Cuál es su precio final?

8.   Si el lado de un terreno cuadrado disminuye en un 25%, ¿En qué tanto por ciento, disminuye su área?

9.   A un cierto producto  valorado en 1800 euros, se le hace dos descuentos sucesivos del 25%, y 20% respectivamente. ¿Cuál es el valor final del producto?

10.   Juan ha ganado 5300 euros al vender un  terreno, con el 25% de ganancia. ¿Cuál es su precio de venta?

11.   Víctor compra un coche por 5600 euros, y lo vende por 7800 euros. Hallar el porcentaje de ganancia.

12.   Se ha vendido una refrigeradora por 750 euros, perdiendo el 20%. Hallar el precio de compra y la pérdida.

 

Clave de respuestas:

1)    99,76 euros                2) 586,21 euros                3) 13,16%                            4) 6708 habitantes

5)   260 trabajadores         6) 1950 euros                    7) 57,6 euros                     8 ) disminuye 36%

9)  1080 euros                   10)  26500 euros              11)  39,29%

12)  Pc = 937,5 euros;  p = 187,5 euros

Reparto proporcional compuesto

El reparto proporcional es compuesto, cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números. Estas; a su vez, puede ser:

  • Reparto proporcional compuesto directo.
  • Reparto proporcional compuesto inverso.
  • Reparto proporcional compuesto mixto.

Reparto proporcional compuesto directo:

El reparto proporcional es directo, cuando a mayor sea  el número proporcional, mayor será el beneficio, y  viceversa. Y es compuesto;  cuando el número proporcional, proviene de un producto de factores.

Repartir “N” entre las partes proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a: “a . a1”, “b . b1”, “c . c1” respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

  • Primero obtenemos los números proporcionales del reparto;  multiplicando los factores,   de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego  estaremos en el caso del reparto proporcional simple directo; con lo cual,  se puede resolver con cualquiera de los 2 métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir 364 euros, en tres partes directamente proporcionales a 3,2 y 5, y simultáneamente a 4,7, y 6.

Método de proporciones:

Solución:

La cantidad  a repartir es 364 euros.

Primero  calculamos los números proporcionales del reparto compuesto, multiplicando los factores de los números proporcionales parciales, de la siguiente manera:

Cabe destacar, que lo que importa de estos números proporcionales, no es la cantidad nominal, sino la relación que guardan entre sí. Por consiguiente, si cabe la posibilidad de simplificar estos números; el resultado no se altera. (En nuestro caso, a los números proporcionales: 12,14, 30;  le hemos quitado la mitad)

Llamemos “x”,”y”,”z”; las partes buscadas; que sean directamente proporcionales a los números 6, 7 y 15; el cociente debe de ser una constante, por lo tanto vamos a formar la proporción.

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 6 + 7 + 15 = 28

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son 78, 91, y 195 euros.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 78 euros + 91 euros + 195 euros = 364 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 364 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 6, 7, y 15.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 6 + 7 +  15 = 28

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 78, 91, y 195 euros respectivamente.

Comprobación: 78 euros + 91 euros + 195 euros = 364 euros.

Reparto proporcional compuesto inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional: menor le corresponde en el reparto, y viceversa. Y es compuesto cuando los números proporcionales provienen de un producto de factores.

Como ya hemos visto anteriormente, los problemas de reparto proporcional inverso se transforman en problemas de reparto proporcional directo, invirtiendo cada número proporcional.  Es decir:

Repartir “N” entre las partes inversamente proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a:  , respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir  144 euros, en partes inversamente proporcionales a los números  3, 2, y 4; y también a  2, 4, y 6 respectivamente.

Método de proporciones:

Solución:

La cantidad  a repartir es 144 euros.

Primero  buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo.

Para ello; invertiremos cada uno de los números proporcionales parciales  del problema, de la siguiente manera:

Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

 

Luego, damos común denominador a los números: 6, 8 y 24. Es decir, m.c.m (6,8, y 24) = 24

Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos  números proporcionales son: 4, 3, y 1 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Luego, la cantidad a repartir es  N = 144 Euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 1; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 1 = 8

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son: 72, 54, y 18 euros.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 444 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3, y 1, respetivamente.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 4 + 3 +  1 = 8

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 72, 54, y 18 euros respectivamente.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

Reparto proporcional compuesto mixto:

El reparto proporcional compuesto  mixto, es  cuando de una cantidad se da una repartición directamente proporcional a uno o más factores e inversamente proporcional a uno u otros factores.

Como pueden apreciar, este es un caso donde se combinan el reparto proporcional directo e inverso;  con lo cual, basta con convertir a reparto directo, todos los factores que son inversamente proporcionales; invirtiendo cada número proporcional. Es decir:

Repartir “N” entre las partes directamente proporcionales “a”, “b”, “c”, e inversamente proporcional  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a:  ,  respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales que son inversos. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales inversos. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando  todos los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir 480 euros en 3 partes directamente proporcionales a: 3, 4, y  5 e inversamente proporcionales a: 6, 12, y 18, respectivamente

Método de proporciones:

La cantidad  a repartir es 480 euros.

Primero  buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo.

Para ello; invertiremos cada uno de los números  parciales que son inversamente proporcionales  del problema, y los números que son directamente proporcionales, se deja tal como está; de la siguiente manera:

Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

Luego, damos común denominador a los números: 6, 12 y 18. Es decir, m.c.m (6,12, y 18) = 36

Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, Y como el resultado de  todos los números proporcionales del reparto tienen mitad, se simplifica quedando de la siguiente manera:

De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos  números proporcionales son: 9, 6, y 5 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Luego, la cantidad a repartir es  N = 480 Euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6 y 5; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 9 + 6 + 5 = 20

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son: 216, 144, y 120 euros respectivamente.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 480 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6, y 5, respetivamente.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 9 + 6 +  5 = 20

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 216, 144, y 120 euros respectivamente.

Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.

Problemas:

1)    Repartir  696 euros directamente proporcionales a los números 2 y 5, y simultáneamente a 9 y 8.

2)   Repartir el número 1972 directamente proporcional a 3,4, y 7 y simultáneamente a 5,6, y 9.

3)    Repartir 3536 euros  en partes inversamente proporcionales a 3, 4, y 5 y simultáneamente a 3/4, 1/3, y 6.

4)   Repartir 5040 en partes directamente proporcionales a 3, y 7 e inversamente proporcionales a 1/5, y 1/3.

5)   Repartir 468 manzanas en partes directamente proporcionales a los números  3, y 8 e inversamente proporcionales a los números 1/5, y 1/3.

6)   Una empresa decide repartir  7895 euros  de premio, entre sus tres mejores trabajadores,  en forma directamente proporcional a su productividad: 3%, 5%, y 8% respectivamente  e inversamente proporcional al número de faltas: 4 días, 6 días, y 9 días respectivamente.  ¿Cuánto le corresponde a cada trabajador dicho premio?

7)    Dos operarios que trabajan como asociados han cobrado 1215 euros, como  pago a cierto trabajo realizado. El primero ha dedicado tres días, a razón de 8 horas diarias y el segundo cinco días, a razón de 6 horas diarias. ¿Cómo debe de realizarse el reparto?

8 )   Se han pagado 4’125,000 euros por tres parcelas de terreno de 7,4 ha, 4 ha, y 36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?

9)   Varios amigos y amigas acuden a un supermercado para comprar productos con  los que celebrar una fiesta. Se han gastado 105 euros. María lleva el dinero de 6 de ellos, Juan de 4 de ellos, y Ana de 5 de ellos. ¿Qué parte de lo que tienen que pagar  ha de poner cada uno?

10)   La ganancia del primer año de una empresa se reparte en forma directamente proporcional a su aportación de capital: socio A aportó 20000 euros, socio B aportó 70000 euros, y socio C aportó 30000 euros respectivamente;  y en forma inversamente proporcional a los adelantos de dinero que la empresa a entregado a sus socios durante el año en ejercicio: Socio A cobró 3000 euros, socio B cobró 5000 euros, y el socio C cobró 2000 euros; si se sabe que el socio A recibió  400000 euros. Calcular cuánto recibió los otros socios B, y C?

Clave de respuestas:

1)   216 euros, y  480 euros respectivamente.                    2)   290, 464, y 1218 respectivamente.

3)   1280 euros, 2160 euros, y 96 euros respectivamente.            4)   2100, y 2940 respectivamente.

5)   180 euros, y 288 euros respectivamente.                     6)   1485 euros, 1650 euros, y  1760 euros respectivamente.

7)   540 euros, y 675 euros. Respectivamente.                  8 )   2’062500 euros, 1’100000 euros, y 990000 euros respectivamente.

9)  María 42 euros, Juan 28 euros, y Ana 35 euros.          10) Socio B = 840000 euros, socio C = 900000 euros.

Reparto proporcional

En un procedimiento de cálculo que permite repartir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras.

Se dice que el reparto es simple, cuando las cantidades repartidas, son proporcionales a números simples.

Ahora; dependiendo de la relación que exista entre la cantidad a repartir,  y las partes proporcionales; el reparto proporcional puede ser:

  • Reparto proporcional simple directo.
  • Reparto proporcional simple inverso.

Cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números, recibe el nombre de reparto proporcional compuesto; que más adelante lo veremos en detalle.

Reparto proporcional simple directo

El reparto es  directo, cuando a mayor sea el número proporcional; más le corresponde al beneficiario o viceversa.

Repartir el número “N”, entre las partes proporcionales: a, b, y c

Donde: “a”, “b”, y” c”  se le conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”,” z”;  la cantidad buscada,  que le corresponde a cada número proporcional.

Procedimiento

Existen dos métodos de cálculo, que son los siguientes:

Método de proporciones:

Este método consiste en formular proporciones de acuerdo con el siguiente  procedimiento:

  • Sumar las partes proporcionales, llamado también números proporcionales.

En nuestro caso sería:

a  +  b  +  c

  • Formar proporciones,  para cada uno de los números proporcionales, de la siguiente manera: La cantidad N, es  a la sumatoria de los números proporcionales; como la incógnita es a cada índice.

En nuestro caso sería:

 

Ejemplo:

Repartir  la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.

Solución:

La cantidad a repartir es N = 1000 euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas.  Como estos números deben de ser directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5; el cociente debe de ser constante, por consiguiente vamos a formar la proporción.

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 2 + 3 + 5 = 10

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las tres partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.

La forma de comprobar si el reparto ha sido bien hecho, es sumar las partes encontradas, y dará como resultado;  la cantidad a repartir.

En nuestro ejemplo: si sumamos 200 euros + 300 euros + 500 euros, esto me da como resultado 1000 euros; que es la cantidad a repartir inicialmente.

 

Método de reducción a la unidad:

Este método consiste en seguir el siguiente procedimiento.

  • Sumar los números proporcionales.

a  +  b  +  c

  • Determinar la constante de proporcionalidad.

  • Multiplicar la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales, y el resultado es el cociente de reparto, o la cantidad que corresponde a cada uno.

Ejemplo:

Tomemos el enunciado del  ejemplo anterior, para poder  apreciarlo mejor:

Repartir  la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S= 2 + 3 + 5 = 10

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades  que corresponde a cada uno.

Luego, las partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.

De la misma forma, si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir:

Comprobación:  200 euros + 300 euros + 500 euros = 1000 euros

Reparto proporcional simple inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional; menor le corresponde en el reparto, y viceversa.

Repartir el número “N” entre las partes proporcionales: “a”, “b”, y “c”

 

Donde: “a”, “b” y “c” se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”, “z” la cantidad buscada que le corresponde a cada número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional simple inverso, en reparto proporcional simple directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional simple directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Para entenderlo mejor, veamos con un ejemplo numérico.

Ejemplo:

Repartir el número 720 en 3 partes, que sean inversamente proporcionales a los números: 3, 4, y 6.

Solución:

1º   Vamos a convertir el reparto proporcional simple inverso, en reparto proporcional simple directo; para ello invertimos cada uno de los números proporcionales.

2º   Luego damos común denominador a los números 3, 4, y 6.

m.c.m.(3,4,6)= 12;  Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

Luego; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional simple directo, cuyos  números proporcionales son: 4, 3, y 2 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Método de proporciones:

La cantidad a repartir es N = 720

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 2; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 2 = 9

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

 

Luego, las tres partes buscadas son: 320, 240, y 160.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 320 euros + 240 euros + 160 euros = 720 euros

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 720

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 2.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 4 + 3 + 2 = 9

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades que corresponden a cada uno.

Luego, las partes buscadas son 320, 240, y 160 respectivamente.

Comprobación: 320 euros + 240 euros + 160 euros = 720 euros

 

Problemas:

1)   Un padre reparte 1680 euros en parte proporcionales a las edades de sus hijos, siendo estas    12, 10, y 20 años. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

2)   Dividir el número 158,4 euros en parte directamente proporcionales  a 1.6, 1.8, y 3.2 respectivamente.

3)   Repartir 1616 naranjas en partes directamente proporcionales a  los números: 1/4, 5/6, y 3/5.

4)   Repartir 1184 manzanas  inversamente proporcionales a: 2/3, 4/5, y 3 respectivamente.

5)   El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente: 3, 5, y 7. ¿Cuánto dinero recibió el que compro más boletos, si en total se repartió 1633 euros?

6)   Si al distribuir 4500 euros que sean inversamente proporcionales a 2, 3, 5, y 6. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y la menor de las partes?

7)   Tres socios invierten 50,000 euros, 70,000 euros, y 90000 euros respectivamente, en un negocio que, al cabo de un año, da 13230 euros de beneficios. ¿Cuánto se llevará cada uno?

8)   Ana ha recibido un plus de 136 euros por  haber trabajado 8 horas extras. ¿Cuánto recibirán Víctor y José que han realizado 15 y 12 horas extras respectivamente?

9)   Un padre decide repartir 399 euros entre sus tres hijos en partes proporcionales a las notas que obtuvieron sus tres hijos; si sus notas fueron 6, 8, y 7 respectivamente. Hallar cuanto le corresponde al menor.

10)  Un  instituto decide repartir un premio de 1274 euros, en forma inversamente proporcional  al número de tardanzas que han tenido los alumnos de un salón de clases. Si Juan ha tenido 4 tardanzas, Pablo 6 tardanzas, y Rafa 8 tardanzas  respectivamente en todo el curso. ¿Quién recibe menos, y cuánto?

Clave de respuestas:

1)    480 euros, 400 euros, y 800 euros.                  2) 38,4 euros;  43,2 euros;  76,8 euros

3)   240 naranjas, 800 naranjas, y 576 naranjas

4)  576 manzanas, 480 manzanas, y  128 manzanas          5)  345 euros                     6) 1250 euros

7)  3150 euros, 4410 euros, y 5670 euros              8 )  255 euros, y 204 euros           9)  114 euros

10)   Rafa recibe 294 euros

 

Regla de tres

Regla de tres simple:

Es un procedimiento de cálculo, que nos permite comparar dos magnitudes proporcionales. Si las magnitudes proporcionales que se relacionan son directas, se le llama regla de tres simple directa, y si por el contrario;  las magnitudes que se relacionan son inversas, se le llama regla de tres simple  inversas.

Regla de tres simple directa:

Procedimiento:

  • Se ordena los datos y la incógnita.
  • Se forman dos razones dividiendo, en cada una, los valores pertenecientes a una misma magnitud.
  • Se construye la proporción igualando ambas razones.
  • Se calcula el valor de la incógnita

Como en toda proporción, el producto de los extremos, es igual al producto de los medios. Por lo tanto: Ejemplo: Una máquina fabrica 450 clavos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer  1800 clavos? Solución: (Cantidad clavos) es D.P. a (Tiempo) Luego:

Regla de tres simple inversa:

Procedimiento:

  • Se ordenan los datos y la incógnita.
  • Se forman dos productos de factores, entre los  valores de cada magnitud. (Recuerda que el producto de dichos factores es una constante)
  • Para construir la proporción hemos de invertir la razón de los valores de una de las magnitudes.
  • Se calcula el valor de la incógnita.

Ejemplo: Seis obreros hacen una obra en 18 horas; si se triplica el número de obreros, ¿Qué tiempo le tomaran en hacer la misma obra? Solución: Luego:

Regla de tres compuesta:

Es aquél procedimiento de cálculo,  que nos permite comparar más de dos magnitudes proporcionales. Cabe mencionar que en la regla de tres compuesta, se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa, inversa, o una combinación de ellas.

Procedimiento para resolver una regla de tres compuesta:

  • Se ordenan las magnitudes, los  datos y la incógnita.
  • Se  comparan cada par de magnitudes proporcionales,   con el par que contiene a la incógnita, y se establece el tipo de relación que existe entre las magnitudes proporcionales.
  • Luego se construye la serie de razones, tomando como razón común,  a la razón que contiene a la incógnita.
  • Se calcula la incógnita.

Sea las magnitudes A, B, y C.

si:

y además:

Luego se construye la serie de razones iguales, tomando en cuenta la razón común, que contiene a la incógnita.

Ejemplo:

Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 54 sillas, ¿Cuántos días necesitarán  60 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer 90 de las mismas sillas?

Solución:

  • A  más obreros trabajando la misma obra, lo harán en menos tiempo (La relación de magnitudes es inversa)
  • Si se incrementa el número de sillas, entonces lo terminarán en más días. ( La relación de las magnitudes  es directa)
  • Si se incrementa el número de hora para hacer un trabajo, entonces lo terminarán en menos días. ( La relación de las magnitudes es  inversa)

Luego, tenemos:

 

Problemas:

1.   Si 32 libros cuestan 1024 euros, ¿Cuánto se pagarán por 40 libros?

2.   Un coche tarda 9 horas en recorrer un trayecto a 80 km/hrs. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto a 45 km/hrs?

3.   Cierto número de ovejas son alimentados con 120 kg de pasto. Pero si disminuimos en 20 el número de ovejas, entonces se necesitarán solamente 80 kg de pasto. Hallar el número de ovejas.

4.   Una obra puede ser hecha por 25 obreros en 27 días. ¿Cuántos obreros hay que contratar para que la obra se acabe en 15 días?

5.   Juan ha comprado 13,5 kg de café por 81 euros, pero por error le envían 1 kg menos. ¿Cuánto debe de pagar?

6.   Para pavimentar 360 metros de carretera, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días necesitarán para pavimentar 240 metros de la misma carretera con 4 obreros menos?

7.   Si 180 hombres en 5 días, trabajando 8 horas diarias cada día, pueden hacer una zanja de 200 metros de largo, 3 metros de ancho, y 2 metros de profundidad. ¿En cuántos días, de 6 horas diarias, harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo, 4 de ancho, y 3 metros de profundidad?

8.   30 obreros han hecho la mitad de una zanja en 10 días. En ese momento abandonan el trabajo 10 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?

9.   Una cuadrilla de 35 obreros se comprometen a hacer una obra en 58 días, trabajando 7 horas diarias. 10 días después  de iniciado la obra se pidió que la obra quede terminada “x” días antes del plazo estipulado, para lo cual, se aumentaron 14 obreros más y trabajando 8 horas diarias terminan la obra en el nuevo plazo estipulado. Hallar “x”

10.   Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 6 días, ha lavado 1500 kg. De ropa. ¿Cuántos kilogramos de ropa lavará en 18 días trabajando 10 horas diarias?

Clave de respuestas:

1)    1280 euros                                           2)   16hrs                          3)   60 ovejas

4)   Se contrata 20 obreros                          5)   75 euros                     6)   18 días

7)   75 euros                       8 )   15 días                         9)   18 días          10)  5625 Kgr.

Proporcionalidad:

La proporcionalidad; es una relación entre dos magnitudes.

Magnitud:

Es todo aquello que es susceptible de medición.

Ejemplo:

La velocidad, el tiempo, la longitud, el volumen, la superficie, el peso, la estatura, etc.

Magnitudes proporcionales:

Dadas dos  magnitudes; podemos afirmar que son proporcionales, si al variar el valor de una magnitud, la otra magnitud variará en la misma proporción.

Magnitudes directamente proporcionales:

Decimos, que dos magnitudes son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir el valor de una  de ellas, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma proporción.

Ejemplo:

Observemos:

Como se puede apreciar, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que el cociente entre sus valores permanece constante.

En nuestro ejemplo;  observamos que se mantiene constante el valor  14 (Constante de proporcionalidad). Por consiguiente la magnitud costo, y la magnitud longitud son directamente proporcionales.

Magnitudes Inversamente proporcionales:

Decimos que dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de una magnitud, el valor de la otra magnitud quedará disminuida o incrementada en la misma proporción.

Ejemplo:

La velocidad (Km/hrs)  y el tiempo (hrs)

Ejemplo:

Si viajo de Gandía a Valencia a 80 km/ hrs, me demoro 1 hora, entonces si viajo a 40km/hrs demoro el doble,  y si viajo a 20 km/hrs demoraré el cuádruple, etc.

Observemos:

Como se aprecia, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales; el productos de sus valores de dichas magnitudes, se mantiene constante.

En nuestro caso, vemos que se mantiene constante el valor de 80, con lo cual la magnitud velocidad (km/hs) es inversamente proporcional al tiempo (hrs)

Ejercicios:

1.    Completa la siguiente tabla correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales.

2.    Completa la siguiente tabla de valores correspondientes  a dos magnitudes inversamente proporcional.

3.    Si 5 libros de matemáticas cuestan 175 euros, ¿Cuánto costará una docena de libros?

4.   Para preparar una tarta de manzana para 8 personas, se necesitan 12 manzanas y 400 gr de azúcar. ¿Cuántas manzanas y cuántos gramos de azúcar se necesitan para 6 personas?

5.   Carlos y Ana recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean son de 18 y 24 minutos respectivamente. La velocidad de Carlos es 72 metros/minuto, ¿Cuál será la velocidad de Ana?

6.   Una obra puede ser hecha por 26 obreros en 12 días. Si se quisiera hacer la obra en 8 días. ¿Cuántos obreros se necesitarán?

7.   Un ganadero tiene 540 vacas que puede alimentar durante 40 días. Si vende 180 vacas, ¿Durante cuántos días podrán alimentar al resto, dando la misma ración?

8.   Siete  envases de leche han costado 4,55 euros. ¿Cuántos cuesta tres?

9.   Ciento cincuenta gramos de mortadela cuestan 10,8 euros. ¿Cuánto costarán 450 gramos?

10.   Un camión ha recorrido 140 km en una hora y media. Si sigue a la misma velocidad, ¿Qué distancia recorrerá en  cuatro horas y media?.

11.   Una fuente ha tardado 56 segundos en llenar una garrafa de 4 litros. ¿Cuánto tardará en llenar un cántaro de 36 litros?

12.    Un taller con cinco maquinas laminadoras fábrica 750 mts2 de chapa al día. ¿Cuántos metros cuadrados fabricará cada día si adquiere dos maquinas más?

 

Clave de respuestas:

3)  420   euros                    4) 9 manzanas y 300 gramos de azúcar                  5)  54 mts/min

6)  39 obreros                   7) 60 días                            8 ) 1,95 euros                    9)  32,4 euros

10)  420 km                        11) 504 segundos            12) 1050 mt2

 

Razones y proporciones

Razón:

Es la comparación de dos cantidades, ya sea por cociente, o por diferencia.

Si la comparación de las cantidades, es por cociente, recibe el nombre  de razón geométrica.  Cabe resaltar que para poder comparar 2 cantidades, estas deben de tener las mismas unidades de medida.

Términos de la razón geométrica:

Ejemplo:

Comparar 15 metros de tela de algodón, con 5 metros de tela de seda.

Observación:

No hay que confundir  razón geométrica con la fracción:

Ejemplo:

En cambio:

 

Ejemplo:

Ahora; si la comparación de las cantidades es por diferencia, recibe el nombre  de razón aritmética:

Ejemplo.

Comparar las edades de Juan y María

32 años  – 15 años  =  17 años  (Razón aritmética)

Problemas:

1)  La razón geométrica entre 2 números es como 5 es  a 3, si el mayor de dichos números es 30, hallar el menor.

2)  La razón geométrica entre dos números es como 7 es a 3, hallar el mayor, si la razón aritmética es 28.

3)  Dos números son entre sí como 7 es a 11; si la suma de estos números es 108, hallar la razón aritmética de dichos números.

4)  Dos números son entre sí como 3 es a 7; si el producto de estos números es 189, hallar el menor de dichos números.

5)  Las edades actuales de María y Ana son proporcionales a 7 y 6; pero dentro de 4 años; dichas edades serán proporcionales a 9 y 8. Calcula la edad actual de Ana.

6)  La razón aritmética entre dos números es 40, si la razón geométrica entre dichos números es como 7 a 5, hallar el mayor de los números.

7)  Las edades de Manuel y José se encuentran en la relación de 5 a 4. Hace 5 años estaban en la relación de 7 a 5. Calcular la edad actual de Manuel.

8 )  La razón geométrica entre dos números es como 9 a 6, hallar la razón geométrica entre la suma y la diferencia de dichos números.

9)  Las edades  actuales de Javi y Víctor  se encuentran en la relación de 6 a 5. Hace 6 años estaban en la relación de 4 a 3. Calcular la edad de Víctor dentro de 4 años.

10)  Dos números son entre sí como 16 es a 9, si el producto de estos números es 3600, hallar la razón aritmética entre dichos números.

Clave de respuestas:

1)   18                    2)  49                             3)  24                     4)  9                          5)   12 años

6)  140                  7)  25 años                 8 )  5                      9 )  19 años           10)  35

 

Proporción:

Es la igualdad de dos razones.

Se lee: “a” es a  “b”, como “c “  es a  “ d”

Términos de una proporción:

K= constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones:

1.  En todo proporción geométrica se cumple, que el producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos.

Ejemplo:

2.  En toda proporción aritmética se cumple, que la suma de sus términos medios, es igual a la suma de sus términos extremos.

 

Ejemplo:

Clases  de proporciones:

    1.  Proporción discreta:

Es aquella, en la cual sus  4 términos de la proporción son diferentes.

Donde: a, b, c, y d se llaman cuarta proporcional.

Ejemplo:

Hallar la cuarta proporcional de 32, 8, y 16.

Luego, formamos la proporción geométrica así:

2.     Proporción continua:

Es aquella proporción, en la cual sus términos medios de la proporción son iguales.

Donde:

Ejemplo 1:

Hallar la tercia proporcional de 6 y 8.

Solución:

Formamos la proporción continua así:

 

Ejemplo 2:

Hallar la media proporcional de 12 y 2.

Solución:

Formamos la proporción geométrica así:

Ejercicios:

1.   Halla el valor de “x” en  cada una de las siguientes proporciones geométricas:

                                                                                 

                                                                             

2.   Halla el valor de “x” , en la siguiente  proporción geométrica:

3.   En la siguiente proporción aritmética:

La suma de los términos extremos es 17. Hallar 2x+y

 

Clave de respuesta:

1-a) 15                                 1-b) 3                                   1-c)  12                                 1-d)  7

 

1-e)  144                             1-f)  252                               2) 8                                        3)  17

 

Serie de razones geométricas iguales:

Se llama así a la igualdad de más de dos razones geométricas iguales:

Propiedades:

1.   En toda serie de razones geométricas continuas, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes; como cada antecedente es a  su respectivo consecuente.

Es decir la constante de proporcionalidad “k” no se altera.

2.   El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes; como cada antecedente es a su respectivo consecuente, elevados a un exponente igual a la cantidad de razones que intervienen en la serie.

Es decir la constante de proporcionalidad “K”, queda elevada a una cantidad igual al número de razones que interviene en la serie.

3.   En toda serie de razones geométricas iguales se cumple:

Cualquier combinación que se haga en una razón; lo mismo se tiene que hacer en la otra razón,  para que se mantenga la igualdad; por consiguiente la constante de proporcionalidad quedará afectada por la combinación que se dé en cada razón.

 

Ejercicios:

Calcular el valor de “b”

Hallar el valor de “c”

Hallar el valor de “a”

Hallar el valor de “b”

Hallar el valor de “a”

Calcular: a + b + c

Calcular: “a – b + c”

Clave de respuestas:

1)  24                         2)  16                          3 )  49                    4 )  20                    5 ) 27

6)  98                         7) 2                            8 )  30                    9)  4                       10)  20

 

Potencia, radicación, y operaciones combinadas con fracciones

Potencia de una fracción:

Para  elevar  una fracción a una potencia, se eleva tanto el numerador; como el denominador a un mismo exponente.

Ejemplo:

Potencia de una fracción mixta:

Primero se pasa de fracción mixta,  a fracción impropia; y luego, se procede como el caso anterior.

Ejemplo:

Potencia de potencia de potencia de una fracción:

La potencia de potencia de una fracción,  es otra potencia de ese mismo número, con exponente igual al producto de los exponentes.

Es decir:

Ejemplo:

Potencia de una fracción con exponente entero negativo.

Recordemos que la potencia de un número negativo; es igual a la unidad dividida por la misma cantidad; pero con exponente positivo.

Es decir:

Ejemplos:

Radicación de fracciones:

La raíz enésima de una fracción se obtiene hallando la raíz “n” del numerador y la raíz “n” del denominador.

Es decir:

Ejemplo:

Raíz de un producto de fracciones:

Ejemplo:

Raíz de raíz de un número racional:

Ejemplo:

Raíz de potencia:

Ejemplo:

Potencia de una raíz:

Ejemplo:

Operaciones combinadas:

Para resolver  ejercicios, donde intervienen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación; tendremos en cuenta las siguientes prioridades:

1º Pasar a fracción los números mixtos.

2º efectuar  las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis, llaves,  o corchetes;  de adentro hacia afuera.

3º calcular las potencias y raíces.

4º Efectuar los productos y cocientes.

5º Realizar las sumas y resta

Ejemplo:

Efectuar:

Ejercicios:

Resolver las siguientes operaciones:

                                                       

                                                      

                                                                     

                                                  

             

Clave de respuestas:

1) 289/100            2) 1                      3) 11/10               4) -8/27                5) 32/243

6) 49/4                   7) 64/15625                         8 ) 512/1953125                9) -4

10)  10/3               11)  3/2                         12) 64/125

13) 63/55             14)  -1/3