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Matemáticas 3º eso

Segmentos

Es la porción de recta comprendida entre dos puntos.

 

 

 

Los puntos A y B; se le llama extremo del segmento AB.

Se representa con la letra minúscula “a” o por los puntos que la limitan:

La longitud del segmento, es la distancia que existe entre los puntos que son sus extremos.

Ejemplo:

La longitud del segmento AB = 6 cm.

O  también se escribe como  m AB = 6 cm.

Nota:

¿Qué significa , AB; ó m AB?

Cuando escribimos , nos estamos refiriendo al segmento como figura geométrica.

Cuando escribimos AB o m AB, nos estamos refiriendo a la longitud o medida del segmento.

 

Congruencia de segmentos:

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

segmentos_congruentes

 

 

Punto medio de un segmento:

Es aquel punto que divide al segmento,  en dos segmentos congruentes.

 

punto-medio-segmento

 

 

Segmento  congruentes: 

 

Puntos sobre una recta:

Sabemos que sobre una recta existen infinitos puntos. Supongamos que sobre una recta se toman los puntos consecutivos  A, B, C,  y D.

Dibujamos una recta y sobre esta recta marcamos en forma arbitraria, los puntos A, B, C, y D. Veamos la siguiente figura.

puntos-sobre-recta

 

 

Como los puntos A, B. C y D se encuentran sobre una misma recta, también se les llama puntos colineales.

 

Operaciones con segmentos:

Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes de los segmentos.

Ejemplo:

Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, D, y E de modo que AB=2, BC= 4, CD= 5, DE= 6

Puntos-recta

Efectuar las siguientes operaciones:

a)      AE

b)      AE + BD

c)       AE – AB –CD

d)      AD . BE

e)      AC2

f)       AC . BD + AD . BC

g)      (AC + AB)/ AB

Solución:

a)      AE = (2+4+5+6) = 17

b)      AE + BD = (2+4+5+6) + (4+5) = 17 + 9 = 26

c)       AE – AB –CD = (2+4+5+6) – 2 – 5 = 10

d)      AD . BE = (2 + 4 + 5 ). (4 + 5 + 6) = 11 . 15 =165

e)      AC2= (2+4)2= 62 = 36

f)       (AC + AB)/AB = [(2 + 4) + 2]/2  = [6 + 2]/2 = 8/2 = 4

 

Ejemplo:

Sobe una  recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB = BD = 4 . CD

Hallar CD, SI AD = 24.

Solución:

 

figura_1

Cuando resolvemos problemas de operaciones con segmentos. Lo que haremos  es darle un valor a la longitud de cada segmento de la recta. Y luego; se plantea la ecuación, según el enunciado del problema.

En  nuestro caso vamos a darle un valor “x” a la longitud del segmento CD (CD = x).

De acuerdo al dato tenemos:

AB = BD = 4 . CD

AB = BD = 4. a

De la figura se tiene:

AD = AB + BD

24 = 8.  a

De donde:                                         a = 3

Nos piden CD, entonces:

CD = a

Luego:                                                 CD = 3

 

Problemas de segmentos:

  1. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B. C. y D de modo que AD = 80, AB =20, CD = 50. Hallar BC.
  2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos  P,Q, R, y S de modo que PS = 40, PR = 30, QS = 15. Hallar QR.
  3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E de modo que AB = x, BC = 6, CD = 2X, DE = 7, AE = 43. Hallar x
  4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R de modo que Q es punto medio de PR; además PQ = 15, QR = 2X+7. Hallar “x”.
  5. En una recta se toman los puntos consecutivos  P, Q, R, S de modo que PR + QS = 32  Y PS = 20. Hallar QR.
  6. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R, S de modo que QR = 14, PS = 27. Hallar PQ + RS.
  7. En una recta se marcan los puntos consecutivos P,Q, R, S tal que RS = 3 . PR,  QS – 3. PQ = 28. Calcular QR.
  8. En una recta se ubican los puntos consecutivos R, S, T, U, tal que RT = 12 , RU + TU = 32. Hallar RU.
  9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos  R, S, T, U,  de modo que RS = 6. ST  y  RS + TU = 50. Calcular RU.
  10. Los puntos P,Q, R, S, se encuentran sobre una línea recta, tal que R, es punto medio del segmento PS, además QS – PQ = 18. Hallar QR.

Clave de respuestas:

1. BC = 10                                           2.  QR = 5                                            3.  X = 10

4.  x = 4                                                5.  QR = 12                                          6.  PQ +  RS = 13

7.  QR = 7                                            9.  RU = 22                                          9.  RU = 60

10.  QR = 9

 

Elementos en el plano

En la geometría euclidiana, llamada también geometría plana; veremos todo lo referente al plano,  y empezaremos por los conceptos básicos, llamados también conceptos primitivos, debido a que no tienen una definición exacta; pero si tenemos una idea clara de lo que son. Este es el caso del: punto, la recta y el plano.

El punto:

Es lo que no tiene dimensiones, ni grosor, ni profundidad, ni altura. Todos tenemos una idea de lo que es; pero no tiene una definición precisa; en todo caso se podría definir como aquel que ocupa una posición en el espacio, suelen representarse como la marca que deja la punta de un lápiz, tiza, etc. Se nombra con letras mayúscula. Ejemplo: Sean los punto A, B, C, y D;  que deja la punta de un bolígrafo al presionarlo sobre un papel.  

La recta:

Una recta tiene una sola dimensión: Longitud. Y se define como una sucesión infinita de puntos situados en una misma dirección,  y  que solo consta de una sola dimensión, la longitud; se representa mediante una línea derecha, y se nombra  mediante dos puntos, o con una letra minúscula.     En toda, nos indicarán una sola dirección y dos sentidos  

Tipo de rectas:

Dentro de las rectas, existen varios tipos:

Semirecta:

Imaginemos que sobre una recta toma un punto “O”, este punto divide a la recta en dos partes. A cada parte se llama semirecta. La semirecta, no considera al punto “O”.  Y más bien al punto “O”, se le llama origen o frontera.  

Rayo:

Imaginemos de nuevo que sobre una recta se toma un punto C, este punto divide a la recta en dos partes; cada parte se llama rayo. El rayo si considera al punto C.  

Rectas secantes:

Son aquellas rectas que se cortan en un solo punto.  

Rectas perpendiculares:

Son aquellas rectas que se cortan en un solo punto y además forman un ángulo de 90º  

Rectas paralelas:

Son aquellas rectas que no se cortan en ningún punto.  

Rectas coincidentes:

Dos o más rectas  son coincidentes;  cuando todos sus puntos son comunes.  

El plano:

Es aquella superficie  que tiene dos dimensiones: largo y ancho, no contiene espesor; y que a su vez,  contiene infinitos puntos y rectas. Se suele representar con una letra mayúscula en las esquinas.  

Determinación de los planos:

Los planos se pueden determinar de la siguiente manera:

  • Tres puntos no alineados.

  • Dos rectas que se cortan.

  • Dos rectas paralelas.

  • Un punto y una recta.

    Cuando dos planos se cortan, determinan una recta.  

Semiplanos:

Se llama semi-plano a cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una reta.