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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Máximo común divisor (M.C.D.):

El máximo común divisor, es el mayor de los divisores comunes de varios números. El procedimiento para calcular el MCD, consiste en descomponer los números propuestos, en sus factores primos; luego el MCD, será el resultado de multiplicar los factores comunes, pero afectados con su menor exponente.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D.(36;48;60)

 

Vemos que los únicos factores que  son comunes, a los tres números  que han sido descompuestos en sus factores primos son: el 2 y 3; luego los escogeremos, pero afectados con su menor exponente; es decir:

Algoritmo de Euclides:
Llamado también método por divisiones sucesivas; y es un algoritmo que se utiliza para calcular el M.C.D. de dos números; este procedimiento práctico se suele emplear, cuando los números no se pueden factor izar fácilmente en sus factores primos.

Los pasos son los siguientes:

1. Se divide el número mayor entre el menor.

2. Si:

a) La división es exacta; entonces el divisor será el M.C.D.

b) Si la división no es exacta; entonces dividimos el divisor entre el residuo obtenido, y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero; de ser así el M.C.D. será el último divisor.

 

Mínimo común múltiplo (M.C.M.):

El mínimo común múltiplo, es el menor de los múltiplos comunes de varios números. Para calcularlo, se descomponen los números propuestos en sus factores primos; luego el m.c.m. Será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes, pero afectados con su mayor exponente.

Ejemplo:

Hallar el m.c.m.(40;60;80)

Vemos que los factores  comunes a los tres números, que han sido descompuestos en sus factores primos, son el 2 y 5; y sus factores no comunes es el 3; luego los escogeremos los factores comunes y no comunes, afectados con su mayor exponente.

Relación entre el M.C.M. y el M.C.D.:

El producto del M.C.D.(A; B) x m.c.m(A;B) es igual al producto de los números (A x B); es decir:

Ejemplo:

Sean los números 24 y 36:

Ejercicios de M.C.D y M.C.M.:

1. Hallar el M.C.D. de:

a) 315 y 735

b) 150 y 250

c) 75 y 125

d) 144; 125 y 72

e) 24; 38 y 16

f) 45; 55 y 150

2. Hallar el m.c.m. de:

a) 405 y 540

b) 225 y 275

c) 289 y 340

d) 240; 324 y 250

e) 576; 720 y 672

f) 55; 150 y 345

Problemas de máximo común divisor y mínimo común múltiplo:

1. Un astrologo ha descubierto que un cometa aparece cada 18 años, otro cada 24 años y u tercero cada 32 años. Su han coincidido los tres este año, ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que vuelvan a coincidir otra vez?

2. Se tiene 3 cadenas de 560 cm; 780 cm; y 920 cm. ¿Cómo las dividiremos a trozos de igual longitud que sean lo más largo posible?

3. Un coche debe de cambiar de aceite cada 4000 km, de filtro cada 12000 km y cambiar los neumáticos cada 30,000 km. ¿Cuántos kilómetros debe hacer para que los tres cambios se puedan realizar simultáneamente?

4. Un frutero tiene 220 kg de manzanas, 500 kg de naranjas, y 600 kg de peras. Quiere ponerlas en bolsas iguales. ¿Cuántos kilos podrá poner como máximo en cada bolsa y cuantas bolsas necesitará para cada fruta?

5. Una empresa dedicada al rubro de la tecnología tiene dos locales. En el local A se gastan mensualmente 1769520 euros en pagar a los trabajadores y en la B, 159984 euros. Sabiendo que todos los trabajadores ganan lo mismo y que su sueldo mensual supera los 2400 euros; ¿cuál es su sueldo mensual y cuántos trabajadores hay en cada local.

6. Se han plantado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 288m; 360m; 480m. Sabiendo que hay un árbol en cada vértice y que la distancia entre dos árboles consecutivos es mayor que 20 m, Calcula el número de árboles plantados.

7. Las dimensiones de una caja es 60cm x 45 cm x 72 cm. Queremos apilar la menor cantidad posible de ellas, en la misma posición, de modo que el conjunto total forme un cubo. ¿cuál será la arista del cubo?, ¿cuántas cajas lo forman?

8. Hallar el número menor que 1000 que al dividirlo por 28, por 35, o por 98 da siempre un resto igual a 18.

9. Un niño cuenta sus canicas, la primera por grupos de 4, la segunda por grupos de 6, y finalmente la tercera por grupos de 9 y siempre le quedan 2 sin contar. ¿Cuántas canicas tiene, sabiendo que no llega a 120; pero pasa los 100?

10. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de camisas, cuyos costos son de 35 euros; 48 euros; y de 60 euros; si deseo que en cada caso me sobren 10 euros?

Respuestas:

1) 288 años              2) 20 cm.               3) 60,000 km.             4) 66 bolsas de 20kg

5) Sueldo mensual=4848 euros; y hay en el local A= 365 trabajadores; local B=33 trabajadores

6) 47 árboles         7) arista =360 cm; se usarán 240 cajas en total

8 ) 998                      9) 110 canicas          10) 1690 euros

 

 

2 respuestas a Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

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