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Números racionales

El conjunto de los números racionales;  se denota por la letra  “Q”, y son todos aquellos  que se puede representar, como el cociente de dos números enteros.  Es decir; en forma de fracción.

Donde:

a : Es el numerador

b: El denominador

Recordemos;  que una fracción denota, la parte de un todo.

Ejemplos:

De estos ejemplos, podemos observar que hay  fracciones que tienen como cociente;  a un número entero. Es te es el caso de las números racionales “c”, y “d”.

Y también existe números racionales que su cociente no son números enteros; y que se les denomina,  números fraccionarios. Este es el cado de los números racionales “a”, y “b”.

Ahora cómo podemos observar;  en este conjunto de números racionales (Q),  incluye a los números enteros (Z),  y a los números fraccionarios (aquellos números racionales no enteros).

Fracción:

La fracción es aquél número racional no entero, que denota la parte de un todo.

De manera gráfica, las fracciones la podemos representar de la siguiente forma:

En el numerador indica cuántas partes, entre las que se ha dividido la unidad, se consideran.

Y en el denominador,  se considera el total de las partes.

Para el caso de nuestro ejemplo de la figura;  tenemos:

El color celeste, representa los 2/20 de la figura; Y se lee dos veinteavos.

El color blanco, representa los 3/20  de la figura;  Y se lee: tres veinteavos.

El color verde, representa los  6/20 de la figura;  Y se lee: seis veinteavos.

El color amarillo, representa los 9/20 de la figura; Y se lee: nueve veinteavos.

Como veis, en el numerador indica cuántas partes, entre las que se ha dividido la unidad, se consideran.

Fracciones equivalentes:

Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; pero con términos diferentes.

Ejemplo.

Son fracciones equivalentes:

Pero como averiguar,  si dos fracciones son equivalentes o no?

Muy sencillo, solo se multiplica el numerador de cada una,  por el denominador de la otra. Si los productos obtenidos son iguales; entonces las fracciones son equivalentes.

En nuestro ejemplo sería:

Simplificación de fracciones:

Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente e irreductible.

Luego; para simplificar una fracción, basta con dividir el numerador y el denominador por el M.C.D. de ambos términos de la fracción.

Ejemplo:

 

Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente e irreductible.

Clases de fracciones:

Fracción irreductible:

Es aquella fracción, cuyos términos son primos entre sí.

Ejemplos:

Fracción propia:

Es aquella fracción cuyo numerador es  menor que el denominador.

Ejemplos:

Fracción impropia:

Es aquella fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.

Ejemplos:

Fracciones mixtas:

Son aquellos números, que está compuesto por una parte entera y otra parte fraccionaria.

Ejemplo:

Donde:

La parte  entera es,  2

Y  la parte fraccionaria es,  3/4

Pasos para pasar una fracción mixta a fracción impropia:

  • Se deja el mismo denominador.
  • El numerador es el resultado de la suma, del producto de  la parte entera  por el denominador de la parte fraccionaria, más el numerador  de  la parte fraccionaria.

Ejemplo:

Pasar  la fracción mixta a fracción impropia.

Pasos para pasar de una fracción impropia a fracción mixta:

  • Se divide el numerador por el denominador.
  • El cociente,  es la parte entera del número mixto.
  • El resto,  es el numerador de la parte fraccionaria del número mixto, siendo el denominador el mismo.

Ejemplo:

Pasar la fracción impropia 21/4   a fracción mixta:

Fracciones decimales:

Son todas aquellas fracciones que tienen como denominador a las patencias de 10.

Ejemplo:

Reducción de fracciones al común denominador:

Reducir varias fracciones al común denominador, consiste en encontrar una fracción equivalente, cuyo denominador común es el múltiplo de todos los denominadores;  para ello, seguiremos los siguientes pasos:

  • Se calcula el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.
  • Se divide el M.C.M. por cada denominador de las fracciones propuestas,  y el cociente obtenido se multiplica por los términos  de cada  fracción.

Ejemplo:

Reducir las siguientes fracciones al común denominador:

Solución:

  • Lo que haremos primero es hallar el m.c.m.

Luego, el m.c.m. (8, 12, 3)= 23 x  3 =  8  x  3  =  24

  • Dividimos el m.c.m  entre cada denominador:

  • Se multiplica los términos de cada fracción  por 3, 2, y  8; cómo se aprecia a continuación:

Comparación de fracciones:

  • Con el mismo denominador:

Si dos fraccione tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene  mayor numerador.

Ejemplo:

  • Con el mismo numerador:

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor el que tiene menor denominador.

Ejemplo:

  • Con numeradores y denominadores distintos:

Para comparar dos fracciones cualesquiera, se reducen primero al común denominador, y es mayor aquél que tiene mayor numerador.

Ejemplo:

Reducimos a común denominador:

m.c.m.(4, 6, 8)=24

Ejercicios:

1)  Cual de las siguientes fracciones son equivalentes:

2) Simplifica las siguientes fracciones:

3) Reduce al común denominador los siguientes grupos de fracciones:

4) Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

5) Expresa los siguientes números, mediante una fracción:

 

Problemas:

1)  En un salón de clases hay 30 alumnos. Doce van a colegio en movilidad particular, diez viajan en bus público, y los demás llegan caminando.

a) ¿Qué fracción de los alumnos de la clase representan los alumnos de cada grupo que no van caminando?

b) ¿Qué fracción representan los que van caminando?

2) Un tanque está lleno hasta los 3/4; y otro igual hasta sus 2/3. ¿Cuál de los dos tanques, contiene mayor cantidad de agua?

3) En la calle donde vive María hay 25 tiendas, de las que 3/5 son librerías. ¿Cuántas librerías existen?

4) En una tienda de videos en una semana se vendieron 462 videos, de los que 2/7 eran de terror. ¿Cuántos videos de terror han vendido?

5) María recibe 1/5 de las naranjas de una caja y Carlos recibe 1/6 de las mismas. ¿Quién recibe mayor cantidad?, Si la caja contiene 60 naranjas, ¿Cuántas recibe cada uno?

6) ¿Qué fracción de un libro ha estudiado Juan, si está en la página 128 de un libro que contiene 512 páginas.

7) María ha comprado un televisor  y ha pagado al contado ¾ de su valor, entregando 180 euros. ¿Cuál es el precio del televisor?

8 ) Un padre reparte una cierta cantidad de dinero a sus 3 hijos. A Carlos le entregó 2/9 del total, a Juan  le entrego los 4/9 y a Javi le entregó 540 euros.

a)  ¿Cuánto dinero tenía el padre?

b) ¿Cuánto le entregó a cada hijo?

9) El agua al congelarse aumenta su volumen en 1/10 des mismo. ¿Qué volumen ocuparán 250 litros de agua después de helarse?

10) Al tostar café se pierde 1/5 de su peso. Un comerciante tiene 320 kg de café verde. ¿Cuánto pesará el producto después de tostarlo?

Clave de respuestas de los problemas:

1-a) 2/5    van al colegio en movilidad particular, y 1/3 en bus público.

1-b) 4/15 representan los que van caminando.

2) ¾                       3) 15                      4)  132 videos de terror                                5) María                              6) ¼

7) 240                   8-a) 1620 euros                                8-b) 360 euros a Carlos, y 720 euros  a Juan

9) 275 litros        10) 256 Kg.

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