Get Adobe Flash player

Regla de tres

Regla de tres simple:

Es un procedimiento de cálculo, que nos permite comparar dos magnitudes proporcionales. Si las magnitudes proporcionales que se relacionan son directas, se le llama regla de tres simple directa, y si por el contrario;  las magnitudes que se relacionan son inversas, se le llama regla de tres simple  inversas.

Regla de tres simple directa:

Procedimiento:

  • Se ordena los datos y la incógnita.
  • Se forman dos razones dividiendo, en cada una, los valores pertenecientes a una misma magnitud.
  • Se construye la proporción igualando ambas razones.
  • Se calcula el valor de la incógnita

Como en toda proporción, el producto de los extremos, es igual al producto de los medios. Por lo tanto: Ejemplo: Una máquina fabrica 450 clavos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer  1800 clavos? Solución: (Cantidad clavos) es D.P. a (Tiempo) Luego:

Regla de tres simple inversa:

Procedimiento:

  • Se ordenan los datos y la incógnita.
  • Se forman dos productos de factores, entre los  valores de cada magnitud. (Recuerda que el producto de dichos factores es una constante)
  • Para construir la proporción hemos de invertir la razón de los valores de una de las magnitudes.
  • Se calcula el valor de la incógnita.

Ejemplo: Seis obreros hacen una obra en 18 horas; si se triplica el número de obreros, ¿Qué tiempo le tomaran en hacer la misma obra? Solución: Luego:

Regla de tres compuesta:

Es aquél procedimiento de cálculo,  que nos permite comparar más de dos magnitudes proporcionales. Cabe mencionar que en la regla de tres compuesta, se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa, inversa, o una combinación de ellas.

Procedimiento para resolver una regla de tres compuesta:

  • Se ordenan las magnitudes, los  datos y la incógnita.
  • Se  comparan cada par de magnitudes proporcionales,   con el par que contiene a la incógnita, y se establece el tipo de relación que existe entre las magnitudes proporcionales.
  • Luego se construye la serie de razones, tomando como razón común,  a la razón que contiene a la incógnita.
  • Se calcula la incógnita.

Sea las magnitudes A, B, y C.

si:

y además:

Luego se construye la serie de razones iguales, tomando en cuenta la razón común, que contiene a la incógnita.

Ejemplo:

Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 54 sillas, ¿Cuántos días necesitarán  60 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer 90 de las mismas sillas?

Solución:

  • A  más obreros trabajando la misma obra, lo harán en menos tiempo (La relación de magnitudes es inversa)
  • Si se incrementa el número de sillas, entonces lo terminarán en más días. ( La relación de las magnitudes  es directa)
  • Si se incrementa el número de hora para hacer un trabajo, entonces lo terminarán en menos días. ( La relación de las magnitudes es  inversa)

Luego, tenemos:

 

Problemas:

1.   Si 32 libros cuestan 1024 euros, ¿Cuánto se pagarán por 40 libros?

2.   Un coche tarda 9 horas en recorrer un trayecto a 80 km/hrs. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto a 45 km/hrs?

3.   Cierto número de ovejas son alimentados con 120 kg de pasto. Pero si disminuimos en 20 el número de ovejas, entonces se necesitarán solamente 80 kg de pasto. Hallar el número de ovejas.

4.   Una obra puede ser hecha por 25 obreros en 27 días. ¿Cuántos obreros hay que contratar para que la obra se acabe en 15 días?

5.   Juan ha comprado 13,5 kg de café por 81 euros, pero por error le envían 1 kg menos. ¿Cuánto debe de pagar?

6.   Para pavimentar 360 metros de carretera, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días necesitarán para pavimentar 240 metros de la misma carretera con 4 obreros menos?

7.   Si 180 hombres en 5 días, trabajando 8 horas diarias cada día, pueden hacer una zanja de 200 metros de largo, 3 metros de ancho, y 2 metros de profundidad. ¿En cuántos días, de 6 horas diarias, harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo, 4 de ancho, y 3 metros de profundidad?

8.   30 obreros han hecho la mitad de una zanja en 10 días. En ese momento abandonan el trabajo 10 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?

9.   Una cuadrilla de 35 obreros se comprometen a hacer una obra en 58 días, trabajando 7 horas diarias. 10 días después  de iniciado la obra se pidió que la obra quede terminada “x” días antes del plazo estipulado, para lo cual, se aumentaron 14 obreros más y trabajando 8 horas diarias terminan la obra en el nuevo plazo estipulado. Hallar “x”

10.   Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 6 días, ha lavado 1500 kg. De ropa. ¿Cuántos kilogramos de ropa lavará en 18 días trabajando 10 horas diarias?

Clave de respuestas:

1)    1280 euros                                           2)   16hrs                          3)   60 ovejas

4)   Se contrata 20 obreros                          5)   75 euros                     6)   18 días

7)   75 euros                       8 )   15 días                         9)   18 días          10)  5625 Kgr.

Proporcionalidad:

La proporcionalidad; es una relación entre dos magnitudes.

Magnitud:

Es todo aquello que es susceptible de medición.

Ejemplo:

La velocidad, el tiempo, la longitud, el volumen, la superficie, el peso, la estatura, etc.

Magnitudes proporcionales:

Dadas dos  magnitudes; podemos afirmar que son proporcionales, si al variar el valor de una magnitud, la otra magnitud variará en la misma proporción.

Magnitudes directamente proporcionales:

Decimos, que dos magnitudes son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir el valor de una  de ellas, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma proporción.

Ejemplo:

Observemos:

Como se puede apreciar, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que el cociente entre sus valores permanece constante.

En nuestro ejemplo;  observamos que se mantiene constante el valor  14 (Constante de proporcionalidad). Por consiguiente la magnitud costo, y la magnitud longitud son directamente proporcionales.

Magnitudes Inversamente proporcionales:

Decimos que dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de una magnitud, el valor de la otra magnitud quedará disminuida o incrementada en la misma proporción.

Ejemplo:

La velocidad (Km/hrs)  y el tiempo (hrs)

Ejemplo:

Si viajo de Gandía a Valencia a 80 km/ hrs, me demoro 1 hora, entonces si viajo a 40km/hrs demoro el doble,  y si viajo a 20 km/hrs demoraré el cuádruple, etc.

Observemos:

Como se aprecia, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales; el productos de sus valores de dichas magnitudes, se mantiene constante.

En nuestro caso, vemos que se mantiene constante el valor de 80, con lo cual la magnitud velocidad (km/hs) es inversamente proporcional al tiempo (hrs)

Ejercicios:

1.    Completa la siguiente tabla correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales.

2.    Completa la siguiente tabla de valores correspondientes  a dos magnitudes inversamente proporcional.

3.    Si 5 libros de matemáticas cuestan 175 euros, ¿Cuánto costará una docena de libros?

4.   Para preparar una tarta de manzana para 8 personas, se necesitan 12 manzanas y 400 gr de azúcar. ¿Cuántas manzanas y cuántos gramos de azúcar se necesitan para 6 personas?

5.   Carlos y Ana recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean son de 18 y 24 minutos respectivamente. La velocidad de Carlos es 72 metros/minuto, ¿Cuál será la velocidad de Ana?

6.   Una obra puede ser hecha por 26 obreros en 12 días. Si se quisiera hacer la obra en 8 días. ¿Cuántos obreros se necesitarán?

7.   Un ganadero tiene 540 vacas que puede alimentar durante 40 días. Si vende 180 vacas, ¿Durante cuántos días podrán alimentar al resto, dando la misma ración?

8.   Siete  envases de leche han costado 4,55 euros. ¿Cuántos cuesta tres?

9.   Ciento cincuenta gramos de mortadela cuestan 10,8 euros. ¿Cuánto costarán 450 gramos?

10.   Un camión ha recorrido 140 km en una hora y media. Si sigue a la misma velocidad, ¿Qué distancia recorrerá en  cuatro horas y media?.

11.   Una fuente ha tardado 56 segundos en llenar una garrafa de 4 litros. ¿Cuánto tardará en llenar un cántaro de 36 litros?

12.    Un taller con cinco maquinas laminadoras fábrica 750 mts2 de chapa al día. ¿Cuántos metros cuadrados fabricará cada día si adquiere dos maquinas más?

 

Clave de respuestas:

3)  420   euros                    4) 9 manzanas y 300 gramos de azúcar                  5)  54 mts/min

6)  39 obreros                   7) 60 días                            8 ) 1,95 euros                    9)  32,4 euros

10)  420 km                        11) 504 segundos            12) 1050 mt2

 

Razones y proporciones

Razón:

Es la comparación de dos cantidades, ya sea por cociente, o por diferencia.

Si la comparación de las cantidades, es por cociente, recibe el nombre  de razón geométrica.  Cabe resaltar que para poder comparar 2 cantidades, estas deben de tener las mismas unidades de medida.

Términos de la razón geométrica:

Ejemplo:

Comparar 15 metros de tela de algodón, con 5 metros de tela de seda.

Observación:

No hay que confundir  razón geométrica con la fracción:

Ejemplo:

En cambio:

 

Ejemplo:

Ahora; si la comparación de las cantidades es por diferencia, recibe el nombre  de razón aritmética:

Ejemplo.

Comparar las edades de Juan y María

32 años  – 15 años  =  17 años  (Razón aritmética)

Problemas:

1)  La razón geométrica entre 2 números es como 5 es  a 3, si el mayor de dichos números es 30, hallar el menor.

2)  La razón geométrica entre dos números es como 7 es a 3, hallar el mayor, si la razón aritmética es 28.

3)  Dos números son entre sí como 7 es a 11; si la suma de estos números es 108, hallar la razón aritmética de dichos números.

4)  Dos números son entre sí como 3 es a 7; si el producto de estos números es 189, hallar el menor de dichos números.

5)  Las edades actuales de María y Ana son proporcionales a 7 y 6; pero dentro de 4 años; dichas edades serán proporcionales a 9 y 8. Calcula la edad actual de Ana.

6)  La razón aritmética entre dos números es 40, si la razón geométrica entre dichos números es como 7 a 5, hallar el mayor de los números.

7)  Las edades de Manuel y José se encuentran en la relación de 5 a 4. Hace 5 años estaban en la relación de 7 a 5. Calcular la edad actual de Manuel.

8 )  La razón geométrica entre dos números es como 9 a 6, hallar la razón geométrica entre la suma y la diferencia de dichos números.

9)  Las edades  actuales de Javi y Víctor  se encuentran en la relación de 6 a 5. Hace 6 años estaban en la relación de 4 a 3. Calcular la edad de Víctor dentro de 4 años.

10)  Dos números son entre sí como 16 es a 9, si el producto de estos números es 3600, hallar la razón aritmética entre dichos números.

Clave de respuestas:

1)   18                    2)  49                             3)  24                     4)  9                          5)   12 años

6)  140                  7)  25 años                 8 )  5                      9 )  19 años           10)  35

 

Proporción:

Es la igualdad de dos razones.

Se lee: “a” es a  “b”, como “c “  es a  “ d”

Términos de una proporción:

K= constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones:

1.  En todo proporción geométrica se cumple, que el producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos.

Ejemplo:

2.  En toda proporción aritmética se cumple, que la suma de sus términos medios, es igual a la suma de sus términos extremos.

 

Ejemplo:

Clases  de proporciones:

    1.  Proporción discreta:

Es aquella, en la cual sus  4 términos de la proporción son diferentes.

Donde: a, b, c, y d se llaman cuarta proporcional.

Ejemplo:

Hallar la cuarta proporcional de 32, 8, y 16.

Luego, formamos la proporción geométrica así:

2.     Proporción continua:

Es aquella proporción, en la cual sus términos medios de la proporción son iguales.

Donde:

Ejemplo 1:

Hallar la tercia proporcional de 6 y 8.

Solución:

Formamos la proporción continua así:

 

Ejemplo 2:

Hallar la media proporcional de 12 y 2.

Solución:

Formamos la proporción geométrica así:

Ejercicios:

1.   Halla el valor de “x” en  cada una de las siguientes proporciones geométricas:

                                                                                 

                                                                             

2.   Halla el valor de “x” , en la siguiente  proporción geométrica:

3.   En la siguiente proporción aritmética:

La suma de los términos extremos es 17. Hallar 2x+y

 

Clave de respuesta:

1-a) 15                                 1-b) 3                                   1-c)  12                                 1-d)  7

 

1-e)  144                             1-f)  252                               2) 8                                        3)  17

 

Serie de razones geométricas iguales:

Se llama así a la igualdad de más de dos razones geométricas iguales:

Propiedades:

1.   En toda serie de razones geométricas continuas, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes; como cada antecedente es a  su respectivo consecuente.

Es decir la constante de proporcionalidad “k” no se altera.

2.   El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes; como cada antecedente es a su respectivo consecuente, elevados a un exponente igual a la cantidad de razones que intervienen en la serie.

Es decir la constante de proporcionalidad “K”, queda elevada a una cantidad igual al número de razones que interviene en la serie.

3.   En toda serie de razones geométricas iguales se cumple:

Cualquier combinación que se haga en una razón; lo mismo se tiene que hacer en la otra razón,  para que se mantenga la igualdad; por consiguiente la constante de proporcionalidad quedará afectada por la combinación que se dé en cada razón.

 

Ejercicios:

Calcular el valor de “b”

Hallar el valor de “c”

Hallar el valor de “a”

Hallar el valor de “b”

Hallar el valor de “a”

Calcular: a + b + c

Calcular: “a – b + c”

Clave de respuestas:

1)  24                         2)  16                          3 )  49                    4 )  20                    5 ) 27

6)  98                         7) 2                            8 )  30                    9)  4                       10)  20

 

Fracción Generatriz:

Sabemos que todo número decimal, ya sea exacto o periódico, proviene de una fracción;  y  a esta fracción irreductible,  se le conoce con el nombre de fracción generatriz.

Casos que se presentan:

Pasar de un número decimal exacto a fracción generatriz:

Para pasar de un número decimal exacto  a fracción generatriz,  escribimos primero como numerador al número dado sin la coma, y como denominador se escribe la unidad seguida de tantos ceros;  como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

 

Pasar de un número decimal periódico puro a fracción generatriz:

Para pasar de un número decimal periódico puro a fracción generatriz, escribimos primero como numerador al número dado sin las coma,  menos la parte entera, y como denominador se escribe tantos nueves; como cifras tenga el periodo (parte decimal que se repite).

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

 

Pasar de un número decimal periódico mixto a fracción generatriz:

Para pasar de un número decimal periódico mixto a fracción generatriz, escribimos primero como numerador,  al número dado sin  la coma, menos la parte entera  seguida de la cifras decimales no periódicas, y como denominador se pone tantos nueves, como cifras tenga la parte periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Ejemplo 1:

 

Ejemplo 2:

Ejercicios:

Grupo A:

Halla la fracción generatriz de:

a)  0,36                                 b)  0,524                              c)  5,6                                   d)  4,16

e)  3,62                                f)  36,6                                 g) 3,328                               h) 14,360

Grupo B:

Halla la fracción generatriz de:

                                                                                         

                                                                                        

Grupo C:

Halla la fracción generatriz  de:

                                                                                 

                                                                                 

Grupo D:

Halla el resultado de la siguiente operación, y exprésalo como fracción:

                                                       

                                              

Clave de respuesta:

Grupo  A:

a)  9/25                        b)  131/250                         c)  28/5                                d) 104/25

e) 181/50                    f)  183/5                              g) 416/125                          h) 359/25

Grupo  B:

a)  2/3                         b) 4/11                                 c)   142/333                         d)  369/1111

e)   16/11                   f)  395/99                            g)  701/333                         h)  48/11

Grupo C:

a)  1/6                         b)  7/55                          c)  368/2475                       d)  2162/4995

e)  22/15                   f) 643/450                    g)  1033/495                       h)  8303/2475

Grupo D:

a)   102/55               b)  97/55                             c)  58/15                              d)  337/45

e)  1093/165           f)  27847/4950                   g)  1298/45                       h)  763/150

 

Potencia y raíz cuadrada de números decimales

Potencia de base decimal y exponente natural:

Por definición la potencia de un número decimal, es la operación que consiste en multiplicar un número decimal llamado base, por si mismo, tantas veces como indique el exponente.

Ejemplo:

Para elevar un número decimal a una potencia, se eleva la cifra numérica, como si fuese un entero, y luego se separa tantas cifras decimales, como de el resultado de multiplicar la potencia, por el número de cifras decimales.

Ejemplo:

Bastará con elevar, 32 =9 y separar 6 cifras decimales (3 cifras decimales de la base, que multiplica a la potencia 2; que será igual a 6)

Luego:

Otra forma de resolver sería la siguiente:

El número decimal se convierte en fracción decimal,  y luego mediante propiedades de potencias,  expresamos el número en notación científica.

O también, podemos expresar:

Vamos a recordar todas las propiedades de potencia que hemos visto en números naturales, y números enteros;  y que  son  aplicados a la potencia de base decimal con exponente natural.

1.  Productos de potencias de igual base:

El producto de dos o más potencias de la misma base, es otra potencia de igual base, pero con un exponente que es la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplo:

2. Cociente de dos potencias de igual base:

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de igual a la base, pero con un exponente que es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas.

Ejemplo:

3.  Potencia de potencia:

La potencia de otra potencia, es igual a una potencia con la misma base, cuyo exponente es el producto de los exponentes dados.

Ejemplo:

4.  Potencia de un producto:

La potencia de un producto, es igual al producto de la potencia “n” de cada uno de los factores.

Ejemplo:

5.  Potencia de un cociente:

La potencia de exponente”n” de un cociente, es igual al cociente de las potencias de exponentes “n” del dividendo entre el divisor.

Ejemplo:

Raíz cuadrada de números decimales:

Para sacar la raíz cuadrada de un número decimal; seguiremos los siguientes pasos:

  1. Se separan en grupos de dos cifras hacia la izquierda (Parte entera), y hacia la derecha (Parte decimal).
  2. Si en la parte decimal del radicando,  tiene un número impar de cifras, se completa con un cero.
  3. Se extrae la raíz cuadrada, como su fueran números naturales
  4. Se pone la coma decimal en la raíz, al partir de la derecha;  un numero de pares de cifras decimales que existe en el radicando.
  5. En el resto al partir de la derecha,  se separan tantas cifras decimales, como cifras tenga el radicando.

Ejemplo:

Comprobación:

Ejercicios:

A)     Efectuar las siguientes operaciones:

                                              

                                       

                                            

B)     Extraer las siguientes raíces cuadradas:

                                                              

                                                            

                                                             

C)     Hallar la raíz cuadrada de:

1)    8,922                                            2)   6,743                             3)    72,856

4)    34,7819                                       5)   56,3576                         6)    3,16159

7)   394,229                                        8 )  205,1429                      9)   6459,3298

Clave de respuestas:

Grupo A:

                                 2)   0,216                                    

                                                           6)  64

7)  125                                             8 )   0,2025                                

Grupo B:

1)        0,8                       2)   0,15                3)   6,3                 4)  12,3              5)     8,6

6)     0,5                     7)     0,6                   8 )   1,5                9 )  1,8

Grupo C:

1)  2,987                    2)  2,5967            3)  8,5356            4)  5,8976            5) 7,5071

6)  1,778                    7)  19,855           8  ) 14,3228         9)  80,3699

 

 

Multiplicación y división de números decimales

Multiplicación  de un número decimal por un entero:

Para multiplicar un número decimal por un número natural, hacemos lo siguiente:

  • Se multiplican los dos números como si fuesen números enteros.
  • Y en el resultado se separa con una coma, empezando por la derecha, tantas cifras decimales; como tenga el número decimal.

Ejemplo:

Multiplicar:

Multiplicación de números decimales:

Para multiplicar dos números decimales, hacemos lo siguiente:

  • Se multiplican primero como si fuesen números naturales.
  • Luego, al resultado se separa con una coma; empezando de derecha a izquierda, un número de cifras decimales, igual a la suma de las cifras decimales que tienen  los factores.

Ejemplo:

Multiplicar:

Multiplicación de un número decimal por 10, 100, 1000,………:

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000,……..simplemente,  se desplaza la coma decimal  hacia la derecha como ceros tenga la unidad.

Ejemplo:

División  de un número decimal por un entero:

Para dividir un número decimal por un número natural, hacemos lo siguiente:

  • Se dividen los dos números,  como si fuesen números naturales.
  • Y al bajar la cifra de las decimas del dividendo, se coloca la coma en el cociente.

Ejemplo:

División de números decimales:

Para dividir dos números decimales, se multiplica el dividendo  y el divisor, por 10, por 100, o por……………….; de modo que el divisor se transforme en un número natural y luego se procede a la división.

Ejemplo:

Calcular el cociente de la división 1,0876 entre 0,042, con tres cifras decimales.

Solución:

Vamos a multiplicar el dividendo y el divisor por 1000; a fin que el divisor se convierta en un número entero, luego tendremos:

División de un número decimal por 10, 100, 1000,……………….:

Para dividir un número decimal por 10, 100, 1000,………….. Simplemente, se desplaza hacia la izquierda la coma decimal; como ceros tenga la unidad.

Ejemplo:

Ejercicios:

1.  Multiplica:

                                                      

                                                         

                                                

2. Multiplica en forma abreviada:

                                         

                                           

                                         

3. Calcula los cocientes de las siguientes divisiones:

                                                      

                                                    

                                                

4. Efectuar las siguientes divisiones:

                                                            

                                                     

                                                      

Problemas:

1.  Un metro de tela cuesta  8,15 euros. ¿Cuál será el total de 7 metros?

2. Un litro de zumo de naranja cuesta 1,25 euros. ¿Cuál será el precio de 4.75 litros?

3. Rosa ha comprado 4 cuadernos a 1,75 euros cada uno, y 9 bolígrafos  a 0,85 euros la unidad. ¿Cuánto tuve que pagar en total?

4. El vidrio de una ventana  mide 45 cm de ancho,  por 60 cm de alto. ¿Cuál será el precio del vidrio de la ventana?;  si el centímetro cuadrado del vidrio esta a 0,17 euros.

5. Cada rueda de un bici, recorre en una vuelta 9.56 cm. ¡cuál será la longitud recorrida en 3546 vueltas?

6. Si una cuchara cuesta 0,75 euros, y el cuchillo 1,85  euros. ¿Cuánto se pagarán por una docena de cucharas, y 9 cuchillos?

7. Un obrero gana 5,40 euros la hora. ¿Cuánto habrá ganado en 13 días, si trabajo 7 horas cada día?

8. Se compra 7 docenas de naranjas a 0,85 euros cada naranja. ¿Cuánto pagó?

9. Ángel cada día hecha a su alcancía 3,25 euros. ¿Qué cantidad habrá hecho en 31 días?

10. ¿Cuánto costará cercar una huerta,  cuyo contorno mide 175 metros, y sabiendo que el metro de alambre cuesta 5,75 euros, y se dan en total 6 vueltas?

11. Por 7 metros de tela se pagaron 59,25 euros. ¿Cuánto costó el metro de tela?

12. Ana pagó por 15 litros de vino;  248,54 euros. Cuánto le costó el litro de vino?

13. Sabiendo que 16 madejas de lana pesan 1208 gramos. ¿Cuál es el peso de cada madeja?

14. ¿Cuántas botellas de 0,270 litros se pueden llenar con 3,78 litros?

15. ¿cuánto vale un terreno que cuesta la sexta parte de 685396,783 euros?

16. ¿Cuál es el valor de una lata de zumo de naranja, si por 15 latas hemos pagado 12,75 euros?

17. Un obrero gana 1275 euros en 18 días. ¿Cuál es su jornal diario?

18. Juan en un mes ahorró 1750 euros ¿Cuál fue su ahorro en un día?

Clave de respuestas:

1)  57,05 euros             2) 85,9375 euros          3) 14,65 euros              4) 459 euros

5) 67799,52 cm.         6)25,65 euros                7) 491,4 euros              8 ) 71,4 euros

9) 100,75 euros       10) 6037,5 euros          11) 8,464 euros           12) 16,57 euros

13) 75.5 grs.            14) 14 botellas             15) 114232,797 euros    16) 0,85 euros

17) 70,83 euros        18 ) 58,33 euros

Suma y resta de números decimales

Suma de números decimales:

Para sumar dos o más números decimales, se procede de la siguiente manera:

  • Se escribe los números decimales, uno debajo del otro; de modo que coincidan las unidades del mismo orden y la coma decimal.
  • Luego, se suman como si fueran, números naturales.
  • Y en el resultado, se coloca la coma decimal; debajo de la coma de los sumandos.

Ejemplo:

Sumar:

Resta de números decimales:

Para restar dos o más números decimales, se sigue el siguiente procedimiento:

  • Se escribe el menor número decimal  debajo del mayor; de manera que coincidan las unidades del mismo orden y la coma decimal.
  • Luego, se restan como si fueran números naturales.
  • Y en el resultado, se coloca la como; debajo de la coma del minuendo, y del sustraendo.

Ejemplo:

Restar:

Ejercicios:

1. Resuelve  las siguientes operaciones:

                                                                       

                                                                        

2. Escribe ordenadamente en columnas y resuelve:

3. Resolver:

Números decimales

Para empezar hablar de números decimales, es necesario recordar,  que es una fracción decimal; de manera que daremos una definición.

Fracción decimal:

La fracción decimal es todo número racional, representado por una fracción; cuyo denominador,  es una potencia de 10.

Ejemplo:

Ahora, toda fracción común, cuyo denominador sea divisor de una potencia de 10, puede expresarse como fracción decimal, amplificando la fracción por un número que transforme el denominador, en una potencia de 10.

Ejemplo 1:

La fracción 3/25, puede expresarse como fracción decimal amplificando por 4; ya que:

Ahora, si dividimos el numerador, entre el denominador de la fracción decimal; obtendríamos el número decimal, es decir:

Ejemplo 2:

La fracción -5/8, puede transformarse en una fracción decimal, amplificándola por 125.

Por otro lado, hay fracciones comunes que no pueden expresarse como fracción decimal; debido a que los factores primos del denominador, no son potencias de 2 y/o 5.

Ejemplo:

La fracción 7/3, no puede expresarse como fracción decimal porque no existen potencias de 10, que sean divisibles por 3.

Si descomponemos las potencias de 10, en sus factores primos tenemos:

Y así, podemos continuar deduciendo mas potencias de 10.

Como conclusión, podemos decir que todas las potencias de 10, tienen como factores a las potencias de 2, y 5,

En resumen; una fracción puede convertirse en fracción decimal; si y solo si, los factores primos del denominador, son potencias de 2  y 5.

Número decimal:

Es aquél número que se obtiene de dividir el numerador, por el denominador  de una fracción.

Ejemplo:

7/25; si dividimos el numerador por el denominador, tendremos como resultado 0,28.

Es decir:

Con lo cual, obtenemos un número decimal finito.

Ejemplo 2:

5/3; si dividimos el numerador por el denominador, tendremos como resultado  1,666…..; con lo cual obtenemos un número decimal infinito.

De los ejemplos anteriores, podemos concluir lo siguiente:

  • Aquellas fracciones que se pueden expresar como fracción decimal, dan como origen a los números decimales finitos.
  • Aquellas fracciones que no se pueden expresar como fracción decimal, dan como origen a los números decimales infinitos.

 

Todo número decimal, se compone de dos partes:

Pata expresar un número decimal finito  como fracción común; escribimos primero como numerador  al número dado sin la coma,  y como denominador se escribe la unidad seguida de tantos ceros;  como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplo:

                                            

Ordenar números decimales:

Para  establecer una ordenación entre números decimales, podemos compararlo mediante el procedimiento descrito, en el siguiente ejemplo:

Establecer una relación de orden entre: 12,6  y  12,68

1º Comparamos las partes enteras.

Si son distintas, se pueden establecer inmediatamente la relación de orden, como en los números naturales.

Si son iguales, como en nuestro caso: 12=12, continuamos.

2º           Se compara la primera cifra decimal.

En nuestro caso: 6=6

3º           Se compara la segunda cifra decimal.

Si uno de ellos no tiene cifra, se completa con la cifra cero.

En nuestro caso el número 12,6 se escribirá,  su número decimal equivalente que es 12,60.

Luego se compara: 12,60 con 12, 68; con lo cual la cifra 0, es menor que la cifra 8.

Con lo cual, se concluye que el número decimal 12,68 >12,60

En el caso de los números negativos ocurre lo contrario:

Ejemplo:

-0,24 > -0,28; puesto que -4 > -8

Redondear números decimales:

Para poder redondea número decimales, lo primero que debemos de hacer, es fijarnos en la unidad decimal posterior a la que queremos redondear:

  • Si la unidad decimal es mayor o  igual a 5; entonces aumentamos en una unidad, la unidad decimal anterior.
  • Si la unidad decimal es menor que 5; entonces se deja  tal como esta, la unidad decimal anterior.

Ejemplo:

Redondear el número: 2,3739

  • Si redondeamos, hasta las décimas tenemos: 2,4
  • Si redondeamos, hasta las centésimas tenemos: 2,37
  • Si redondeamos hasta las milésimas, tenemos: 2,374

Truncar  números decimales:

Si queremos truncar un número decimal, hasta un determinado orden, simplemente se ponen las cifras anteriores a ese orden, eliminando las demás.

Ejemplo:

Truncar el número: 4,3629

  • Si truncamos hasta la décima, tenemos: 4,3
  • Si truncamos hasta las centésimas, tenemos: 4,36
  • Si truncamos hasta las milésimas, tenemos: 4,362

Ejercicios:

1. Expresa las siguientes fracciones como números decimales, e indicar si son números decimales finitos o infinitos:

                                                                                            

                                   

2. Expresar los siguientes decimales finitos, como fracción irreductible:

                                                                

                        

3. Completa con los signos >,  <,  o  =; los siguientes pares de números decimales:

                                            

                                  

                                  

4. Ordenar de mayor a menor, los siguientes números decimales.

                       

                           

               

Potencia, radicación, y operaciones combinadas con fracciones

Potencia de una fracción:

Para  elevar  una fracción a una potencia, se eleva tanto el numerador; como el denominador a un mismo exponente.

Ejemplo:

Potencia de una fracción mixta:

Primero se pasa de fracción mixta,  a fracción impropia; y luego, se procede como el caso anterior.

Ejemplo:

Potencia de potencia de potencia de una fracción:

La potencia de potencia de una fracción,  es otra potencia de ese mismo número, con exponente igual al producto de los exponentes.

Es decir:

Ejemplo:

Potencia de una fracción con exponente entero negativo.

Recordemos que la potencia de un número negativo; es igual a la unidad dividida por la misma cantidad; pero con exponente positivo.

Es decir:

Ejemplos:

Radicación de fracciones:

La raíz enésima de una fracción se obtiene hallando la raíz “n” del numerador y la raíz “n” del denominador.

Es decir:

Ejemplo:

Raíz de un producto de fracciones:

Ejemplo:

Raíz de raíz de un número racional:

Ejemplo:

Raíz de potencia:

Ejemplo:

Potencia de una raíz:

Ejemplo:

Operaciones combinadas:

Para resolver  ejercicios, donde intervienen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación; tendremos en cuenta las siguientes prioridades:

1º Pasar a fracción los números mixtos.

2º efectuar  las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis, llaves,  o corchetes;  de adentro hacia afuera.

3º calcular las potencias y raíces.

4º Efectuar los productos y cocientes.

5º Realizar las sumas y resta

Ejemplo:

Efectuar:

Ejercicios:

Resolver las siguientes operaciones:

                                                       

                                                      

                                                                     

                                                  

             

Clave de respuestas:

1) 289/100            2) 1                      3) 11/10               4) -8/27                5) 32/243

6) 49/4                   7) 64/15625                         8 ) 512/1953125                9) -4

10)  10/3               11)  3/2                         12) 64/125

13) 63/55             14)  -1/3

Operaciones con fracciones

Dentro de  las operaciones con fracciones, vamos a tener principalmente  a la suma, resta, multiplicación y división. Veamos cada caso:

Suma y resta de fracciones.

Con el mismo denominador:

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se procede de la siguiente manera.

Se suman o se restan los numeradores, y luego se pone el mismo denominador.

Ejemplos:

Si  sumamos: Si  restamos:

Con distinto denominador:

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, primero se reducen a común denominador;  y luego, se suman o restan las fracciones obtenidas.

Ejemplo:

SI sumamos:

Si restamos:

Suma y resta de números enteros y fracciones:

Para sumar o restar  un número entero y una fracción, se procede de la siguiente manera:

  • Se  expresa el número entero como fracción, multiplicándolo o dividiéndolo por el denominador de la fracción.
  •  Luego, se suman o restan, como fracciones de igual denominador.

Ejemplo:

Si sumamos: Si restamos:

Multiplicación con fracciones:

Antes de analizar cada caso, debemos de recordar  la regla de signos para  la multiplicación:

Producto de una fracción, por un número entero.

Para multiplicar una fracción, por un número entero, se seguirá los siguientes pasos:

1º Se multiplica el numerador por el número entero.

2º Se pone  el mismo denominador.

Es decir:

Ejemplo:

Producto de dos fracciones:

Para el caso de la multiplicación de dos fracciones, se seguirá los siguientes pasos:

1º El numerador se obtiene, del producto de los denominadores de las fracciones propuestas.

2º El denominador se obtiene; del producto de los denominadores.

Es  decir: Ejemplo:

Fracciones inversas:

Dos fracciones son inversas, cuando sus productos son iguales a la unidad.

Es decir: Ejemplo:

División de fracciones:

De la misma forma, recordemos la regla de signos, para el caso de la división:

Para hallar el cociente de dos fracciones, existen dos métodos; que se puede aplicar:

1º Método:

Se multiplica la primera fracción, por  la fracción inversa de la segunda.

Ejemplo: Hallar el cociente de la siguiente expresión:

2º Método:

Se aplica producto de extremos, por producto de medios; es decir:

Donde:

Términos extremos:     “a”, y “d”

Términos medios:           “b”, y “c”

Ejemplo:

Hallar el cociente de la siguiente expresión:

Ejercicios:

Efectué las siguientes operaciones: