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Criterios de divisibilidad

Se dice que un número es divisible por otro, cuando lo contiene un número exacto de veces; es decir, que el cociente sea un número natural y su residuo cero.

Ejemplo:

Entonces; decimos que 27 es divisible entre 3.

Pero como sabremos; en el caso que tengamos un número muy grande?; por decir, el número 57896439, y nos preguntemos, ¿será este número divisible entre 3?

Obviamente solo hay dos maneras de saberlo; una es dividiendo dicho número entre 3 y ver si su cociente es un número natural exacto; es decir, que su residuo sea igual a cero.

La otra forma, es averiguarlo sin necesidad de hacer la división. ¿Cómo así?; haciendo uso de los criterios de divisibilidad, y esa es la razón por la cual vamos abordar este tema.

Criterios de divisibilidad:

Divisibilidad por 2:

Un número es divisible por 2; cuando termina en cero o cifra par.

Ejemplos:

32;  150;    356;    1020;    3564

 

Divisibilidad por 3:

Un número es divisible por 3; cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejemplos:

51;    135;    354;    74592;    Son divisibles por 3?

En el caso del número 51, tenemos:

Como 6 entre 3 es 2 y el resto es cero; 51 es divisible por 3.

En el caso del número 135, tenemos:

Como 9 es divisible entre 3;  también lo será 135.

En el caso del número 354:

Como 12 es divisible entre 3; 354 es divisible entre 3.

En el caso del número 74592:

27; si sumamos 2+7=9; y 9 es divisible entre 3; por lo tanto 74592 es divisible entre 3.

Divisibilidad por 4:

Un número es divisible por 4 cuando el número formado por sus dos últimas cifras terminan en cifras ceros o múltiplo de 4.

Ejemplo:

600;     1064;     244;     356;     8000;     2516

Si: 600 y 8000; porque acaban en dos ceros.

1064;    244;    356;    2516;    porque sus dos últimas cifras de cada uno de ellos, los podemos dividir entre 4 y obtener residuo cero.

Divisibilidad por 5:

Un número es divisible por 5 cuando su última cifra acaba en cero o 5.

Ejemplos:

130;     145;     255665

Divisibilidad por 6:

Un número es divisible por 6; cuando lo es por 2 y por 3 a la vez.

Ejemplos:

18;      48;      360

Los tres números son divisibles por 2 y por 3; lo que significa que lo son por 6 también.

Divisibilidad por 7:

Un número será divisible por 7; si aplicamos la siguiente regla:

Se separa la primera cifra de la derecha del número propuesto y se resta a lo que queda de la izquierda, el doble de la cifra que se ha separado y así sucesivamente; si el resultado que queda al final es cero o múltiplo de 7, entonces el número es múltiplo de 7.

Ejemplo:

El número 2,506 es múltiplo de 7?

Lo que hacemos es separar del número 2506, el número 6; quedando el número 250.

Luego a este número le resto el doble de la última cifra; es decir:

Con lo cual nos da como resultado 238. Ahora; ¿es el número 238, múltiplo de 7?

Para saberlo, volvemos aplicar la regla:

Y nos da como resultado el número 7; y 7 es múltiplo de 7.

Por consiguiente el número 2506 es múltiplo de 7.

Divisibilidad por 8:

Un número es divisible por 8; cuando sus 3 últimas cifras son ceros o son múltiplo de 8.

Ejemplo:

65000;  es divisible por 8 porque termina en tres ceros.

3984;  es divisible porque sus 3 últimas cifras es divisible por 8.

Divisibilidad por 9:

Un número es divisible por 9,  cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplo:

¿El número 2961 es divisible por 9?

Si porque la suma de todas sus cifras:  2+9+6+1=18   y 18 es múltiplo de 9.

Divisibilidad por 11:

Un número es divisible por 11; cuando la suma de las cifras, que ocupan los lugares pares; menos  la suma de las cifras,  que ocupan los lugares impares; de cómo resultado, cero o múltiplo de 11..

Ejemplo:

¿El número 25938 es múltiplo de 11?

Ejemplo:

Entonces  procedemos a restar; la suma de  las cifras de los lugares impares (2+9+8), menos  la suma de las cifras de los lugares pares (5+3) y se tiene:

Con lo cual, 11 es múltiplo de 11; por consiguiente, el número 25938 es divisible por 11.

Divisibilidad por 13:

Un número es divisible por 13 si se cumple la siguiente regla:

Se separa la primera cifra de la derecha del número propuesto,  y se resta a lo que queda  a la izquierda, 9 veces de cifras que se ha separado;  y así sucesivamente. Si el resultado que queda al final es cero o múltiplo de 13; entonces el número es múltiplo de 13.

Ejemplo:

¿El número 30654 es múltiplo de 13?

Lo que hacemos es separar del número 30654, el número 4; quedando el número 3065.

Luego a este número le resto 9 veces la cifra que se ha separado; es decir:

Con lo cual, no da como resultado 3029. Ahora; ¿es el número 3029 múltiplo de 13?

Para saberlo, volvemos a aplicar la regla:

Y nos da como resultado el número 221. ¿Es el número 221 múltiplo de 13?

Volvemos aplicar nuevamente la siguiente regla:

Y nos da como resultado el número 13, y 13 es múltiplo de 13.

Por consiguiente el número 30654 es múltiplo de 13.

Divisibilidad por 17:

Un número es divisible por 17, si se cumple la siguiente regla:

Se separa la primera cifra de la derecha del número propuesto,  y se resta a lo que queda a la izquierda, 5 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, hasta que el resultado final será cero o múltiplo de 17; entonces el número es múltiplo de 17.

Ejemplo:

El número 60588, es múltiplo de 17?

Lo que hacemos es separar del número 60588, el número 8; quedando el número 6058.

Luego a este número le resto 5 veces la cifra que se ha separado; es decir:

Con lo cual nos da el número 6018. Ahora nos formulamos la siguiente pregunta: ¿es 6018 múltiplo de 17?

Para lo cual, volvemos aplicar la siguiente regla:

¿Es 561 múltiplo de 17?

Volvemos aplicar la regla nuevamente:

Con lo cual nos da el número 51. ¿Es 51 múltiplo de 17?

Nuevamente aplicamos la regla:

Con lo cual, nos da por resultado el número cero; y cero, es múltiplo de cualquier número.

Por consiguiente, el número 60588 si es múltiplo de 17.

 

Divisibilidad

La divisibilidad estudia las relaciones entre los números; Nos dicen si unos números contienen a otros una cantidad exacta de veces; o si otros números están contenidos en otros, un número exacto de veces. Para aclarar más el tema, veamos el concepto de múltiplo y divisor.
Para ello, vamos a tomar un ejemplo numérico.
Si dividimos:

 

Vemos que es una división exacta; entonces, a partir de este ejemplo vamos a intuir el concepto de múltiplo y divisor.

Decimos que 20 es múltiplo de 5; porque lo contiene 4 veces y  5 es divisor de 20; porque está contenido 4 veces.

Ahora que tenemos una idea de la relación que existe entre el múltiplo y el divisor, vamos a definir a cada uno de ellos.

Múltiplo:
Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número, por cualquier número natural.

Notación:

Se lee: múltiplo de “n”

Ejemplo: Cuales son los múltiplos de 2?

Si multiplicamos 2; por los números naturales consecutivos tendremos lo siguiente:

Luego; los múltiplos de 2 serán:

Lo mismo ocurre si tomamos los múltiplos de los números 3; 4 y 5:

 

Propiedades de los múltiplos:

a) Si “x” es múltiplo de “y”; entonces “y” es un divisor de “x”

Ejemplo: 20 es múltiplo de 5; entonces 5 es divisor de 20

b) Cada número es múltiplo sí mismo; porque si multiplicamos dicho número por 1, nos da el mismo número.

c) El cero es múltiplo de todos los números; porque cualquier número multiplicado por cero nos da cero.

d) Los múltiplos de un número son infinitos.; porque podemos multiplicar dicho número por la sucesión de los números naturales.

e) Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero; entonces el primer número es múltiplo del tercero.

f) La suma de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

Ejemplo:

15 es múltiplo de 3
21 es múltiplo de 3

La  suma de  15+21= 36

Luego; 36 es múltiplo de 3

En general:

g) La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

Ejemplo:

21 es múltiplo de 3
15 es múltiplo de 3

La diferencia de 21-15 = 6

Luego; 6 es múltiplo de 3

En general:

h) El producto de múltiplos de un número es múltiplo de ese mismo número.

Ejemplo:

10 es múltiplo de 5
45 es múltiplo de 5

Luego; multiplicamos 10 x 45 = 450

Luego; 450 es múltiplo de 5

En general:

 

Divisor:

Se dice que un número es divisor de otro, cuando esta contenido un número exacto de veces.

Para calcular los divisores de un número:

• Se escribe ordenadamente el número como el producto de dos factores, empezando por el 1.

• Se termina cuando se repite los factores.

• Los factores aparecidos, vendría a ser todos los divisores del número.

Ejemplo 1:

Hallar todos los divisores de 20.

luego:

De  la misma forma  compruebe,  que los divisores de 16; 25 y 30 son:

Propiedades de los divisores:

a) El 1 es divisor de todos los números.

b) Todo número distinto de cero es divisor de sí mismo.

c) Todo divisor es menor o igual a dicho número, por consiguiente es finito.

d) Si un número es divisor de otro, también será divisor de sus múltiplos.

e) Si un número es divisor de otro y este lo es de un tercero; entonces el primer número es divisor del tercero.

Ejercicios:

1. Escribe los cinco primeros múltiplos de 9.

2. Comprueba si 518 es múltiplo de 7.

3. Halla los múltiplos de 3 comprendidos entre 60 y 80.

4. Escribe cuatro números mayores a 60 que tengan a 8 como divisor.

5. Dado el conjunto

Cuantos no son múltiplos de 3?

6. Forma el conjunto “M” de todos los múltiplos de 7 inferiores a 80.

7. Busca un múltiplo de 222; cuyas cifras sumen 24.

8. Halla todos los divisores de 68.

9. Escribe todos los divisores de 72.

10. Forma el conjunto de los divisores de 30.

11. Cuantos divisores tiene el número 180?

12. Solamente dos de los siguientes números tienen exactamente tres divisores; cuáles son?

a) 35              b) 9                c) 81                d) 66                 e)100                  f) 121

Respuestas:

 

Problemas de operaciones combinadas con números naturales

Problemas para ser resueltos aplicando  operaciones combinadas (suma, resta, multiplicación y división) de números naturales:

1. Juan compró 5 docenas de vasos a 9 euros cada docena para venderlas a 2 euros cada vaso. ¿Cuánto ganó si durante la venta total se le rompieron 5 vasos?

2. En una reunión de 100 personas entre hombres y mujeres, se sabe que por cada 2 mujeres hay 3 hombres. ¿Cuántas mujeres hay?

3. Para pagar una deuda de 2180 euros, Ángel paga con billetes de 50 euros; 5 y 10 euros. Si da 14 billetes de 50 euros y 24 billetes de 10 euros ¿Cuántos billetes de 5 euros debe de dar para cancelar la deuda?

4. En un corral donde sólo hay pavos y cerdos, se encuentran en total 72 alas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos hay?

5. Una empresa decide contratar a un empleado por un año, acordando pagarle 19200 euros más un coche; pero al décimo mes se le despide dándole 13400 euros más el coche. ¿En cuánto está valorizado el coche?

6. Un autónomo compró 30 camisas por 630 euros. ¿A cómo debe de vender cada camisa para que al vender todas obtenga una ganancia de 390 euros?

7. En una boda hay 198 personas, las cuales bailan en pareja, menos 26 mujeres. ¿Cuál es el número de mujeres que asistieron a la fiesta?

8. Una persona compra en Carrefur 4 pantalones, pagó con 200 euros y recibió 12 euros de vuelto. ¿Cuánto cuesta cada pantalón?

9. José compró 80 camisetas por un importe de 480 euros. Si en la venta de 20 camisetas quiere ganar lo que ha pagado por 10 camisetas, ¿A cómo debe de vender cada camiseta?

10. En un restaurant los comensales estaban sentados 8 en cada mesa, al notar que estaban muy juntos, se trajeron 6 mesas más y entonces ahora hay 5 en cada mesa. ¿Cuántos comensales hay?

11. Se dispone de 309 euros entre billetes de 5 euros y monedas de 2 euros. Hallar el número de billetes de 5 euros, Sabiendo que son 3 más que el número de monedas de 2 euros.

12. María compró 16 docenas de libros de geometría a 18 euros cada uno y recibe un libro más por cada docena. En la factura le hacen una rebaja de 200 euros. Si cada ejemplar lo vende a 24 euros. ¿Cuánto ganará al vender todos los libros?

13. Compré 115 cerdos a 1400 euros cada uno; si 10 se murieron, ¿A cómo debo de vender cada cerdo que me queda para obtener una ganancia de 29050 euros?

14. Ángel y Víctor son dos obreros que trabajan juntos para una empresa constructora, y Ángel gana diariamente 8 euros más que Víctor. Después de igual número de días de trabajo, Ángel recibió 1400 euros y Víctor 1240 euros. ¿Cuánto gana diariamente cada obrero?

15. En un corral había inicialmente 192 aves entre gallinas y patos, donde por cada 10 gallinas habían 6 patos. Después se retiran 92 aves y ahora por cada 6 gallinas hay 4 patos. ¿Cuántas gallinas y cuántos patos se retiraron del local?

Clave de respuestas:

1) 65 euros                       2) 40 mujeres                    3) 248                 4) 24 cerdos

5) 15 600 euros               6) 34 euros                        7) 112                 8 ) 47 euros

9) 9 euros                       10) 80 comensales                11) 45          12) 1 736 euros

13) 1 810 euros             14) Ángel 70 euros  y  Víctor 62 euros

15) 60 gallinas y 32 patos

 

Problemas de números naturales

Problemas para ser resueltos utilizando las operaciones de  suma y resta:

1. Un camión realiza tres viajes: en el primer viaje lleva 1840 kilos de naranja, en el segundo 580 y en el tercero 3625. ¿Cuántos kilos de naranjas transportó en los tres viajes?

2. José después de cobrar su nómina, ha comprado una camisa de 42 euros, un pantalón por 88 euros, un par de zapatos por 125 euros, y ha pagado el alquiler de su casa por 450 euros, quedándose con 250 euros: ¿Cuánto es lo que gana José en su nómina?

3. Cuatro amigos, Ángel, Juan, José y Víctor han recibido una suma de dinero por hacer una reforma de una finca. Ángel recibió 1240 euros, Juan 350 euros menos que Ángel, José 600 euros mas que Juan y Víctor tanto como Ángel y Juan juntos. ¿Cuánto recibieron entre los cuatro?

4. Cuatro trabajadores han recibido 20000 euros por su trabajo en la construcción de una finca. El primero recibió 4760 euros, el segundo 920 euros mas que el primero, el tercero 1400 euros menos que el segundo y el cuarto recibió el resto de la suma. ¿Cuánto recibió el cuarto trabajador?
5. María ha gastado 800 euros en comprar regalos para sus hijas María, Ana y Martha. Si el regalo de María costo 270 euros, el de Ana 40 euros menos que el de María. ¿cuánto le costo el regalo a Martha?

6. Juan compra un pantalón, una camisa y un saco cuyos precios de lista son 78 euros, 65 euros y 240 euros, respectivamente; pero al momento de pagar, el pantalón se lo dejan a 69 euros, la camisa a 52 euros y el saco a 198 euros. ¿Cuánto se ahorró Juan?

7. Un joyero compro un reloj por 118 euros. ¿Qué precio debe de fijar para su venta si desea ganar 65 euros?

8. Jaime tiene 8560 euros en su cuenta de ahorros en el banco. El lunes retiró 275 euros para comprar los útiles escolares de su hijo, el martes 65 euros para pagar la factura del teléfono y el miércoles 560 para pagar la cuota de la hipoteca, si el jueves le hacen un depósito de 420 euros, hoy que es viernes ¿cuánto tendrá en su cuenta?

9. Se tienen dos recipientes, una de litro que esta llena de agua y la otra de dos litros que esta vacía. El recipiente de litro vacía pesa 525 gr y llena de agua pesa 1250 gr. El recipiente de dos litros vacía pesa 980 gr. ¿Cuánto pesará cunado se le echa todo el contenido de la otra botella?

10. Víctor quiere comprar una bicicleta que cuesta 1200 euros, pero no puede porque le faltan 260 euros, entonces se compra otra bicicleta que cuesta 430 euros más barato que la primera bicicleta. ¿Cuánto recibe de vuelto?

11. Si ganará 3500 euros de una lotería me compraría un coche de 9500 euros, una moto de 3500 euros y aún así me sobraría 1500 euros, ¿Cuánto tengo?

12. Una lata de sardinas pesa 800 gr.; cuando esta llena hasta la mitad peso 500 gr. ¿Cuánto pesa la lata vacía?

13. Un padre tiene 46 años y su hijo 13 años. ¿Qué edad tendrá el padre cuando el hijo tenga la edad que su padre tenía hace 5 años?

14. ¿Cuánto se obtiene al sumar todos los números de dos cifras cuya suma de sus dígitos es 7?

15. ¿La suma de los términos de una sustracción es 480. ¿Cuál es el minuendo?

16. Si en una sustracción el minuendo aumenta 6 unidades y el sustraendo disminuye también en 6 unidades. ¿Cómo varía la diferencia?

17. La edad de una madre es 4 años menos que la suma de las edades de sus tres hijos. Si el tercer hijo tiene 8 años, el segundo el doble del tercero y el mayor 2 años más; que del segundo. ¿Cuál es la edad de la madre?

18. En una sustracción el minuendo y el sustraendo se aumenta en 12 y 8 unidades respectivamente. ¿En cuánto aumenta la diferencia?

19. En un corral donde hay gallinas, gallos pavos y conejos se sabe lo siguiente: Hay tantos pavos como la mitad de conejos; hay 8 conejos más que gallos, hay tantas gallinas como gallos y pavos juntos. Hallar el número total de animales, sabiendo que el número de conejos es 14.

20. Juan distribuyó sus gastos del mes de la siguiente manera: 690 euros en alimentos, 145 euros en pago de agua y luz, 50 euros en pago de teléfono y le faltó 350 euros para pagar una deuda de 1500 euros. ¿Cuánto tenia inicialmente?

21. En un concurso de baile participaron 70 personas; cada media hora se elimina la mitad de los presentes más un participante. Si el concurso empezó a las 8:30 AM ¿Cuántos concursantes había a las 10:00.AM?

22. Un Autónomo compra una grabadora por 110 euros, un televisor por 450 euros y una aspiradora. Luego vende la grabadora a 190 euros, el televisor a 670 euros, y la aspiradora por 160 euros, logrando una ganancia total de 350 euros. ¿Cuánto costó la aspiradora?

Respuestas:
1) 6045 euros         2) 955 euros         3) 5750 euros         4) 5,280 euros

5) 300 euros           6) 64 euros           7) 183 euros             8 ) 8080 euros

9) 1705 gr             10) 170 euros       11) 11000 euros     12) 200 gr.

13) 74 años           14) 301                15) 24                      16) Aumenta en 12 unid.

17) 38 años          18) Aumenta en 4 und.                         19) 40 animales

20) 2035 euros     21) 7 concursantes                              22) 110 euros

Operaciones combinadas con números naturales

Prioridades:

1º   Resolver primero las operaciones que se encuentran encerradas dentro de los signos de colección (corchetes, llaves y paréntesis); empezando por el signo de colección que está más al interior.

2º   Se calculan las potencias y las raíces.

3º   Se calculan las multiplicaciones y divisiones.

4º   Se calcula las sumas y restas.

Para poder resolver ejercicios  de operaciones combinadas de números naturales, es importante saber en que caso nos encontramos:

1.  Operaciones combinadas de sumas y restas:

a) Sin signos de colección:

Se procede a operar de izquierda a derecha

Ejemplo:

Efectuar:

 

b) Con signos de colección:

Se procede a efectuar las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis, para luego suprimir los paréntesis.

Ejemplo:

2. Operaciones combinadas de sumas, resta,  productos y división:

a) Sin signos de colección:

Primero se efectúan las divisiones y  multiplicaciones en el orden en que aparecen, porque tienen la misma prioridad; luego las adiciones y sustracciones.

Ejemplo:

b) Con signos de colección:

Primero realizamos las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis; luego se efectúan las divisiones y multiplicaciones en el orden que aparecen, seguido de las sumas y restas.

Ejemplo:

3. Operaciones combinadas suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíces.

a) Sin signos de colección:

Si en una operación combinada existen números expresados como potencias  o como raíces, estas se resuelven primero y después se aplican las multiplicaciones y divisiones, en el orden que aparecen, seguido de las sumas y restas.

Ejemplo:

b) Con signos de colección:

Primero realizamos las operaciones que se encuentran encerradas dentro de estos signos, empezando por el signo de colección que está más al interior; teniendo en cuenta, que se resuelven las potencias y las raíces primero, luego  los cocientes y productos en el orden en que aparecen y finalmente las sumas y restas.

Ejemplo:

 

Raíz cuadrada de números naturales

La raíz cuadrada de un número, es otro número que multiplicado por si mismo, nos reproduce el  número dado.

Términos de una raíz:

En el caso de la  raíz cuadrada; el índice es tácito, vale siempre 2 y se sobreentiende; no es necesario escribirlo.

Es decir:

n:   Radicando

r:          Raíz

Ejemplo:

Se lee:

Raíz cuadrada de 4 es igual a 2

Raíz cuadrada de 9 es igual a 3

De manera que si nos preguntaran; a que es igual :

Entonces; lo que debemos preguntarnos siempre,  para saber la respuesta es:

Que número multiplicado por si mismo me reproduce 81?

La respuesta es 9;  Porque 

En toda raíz cuadrada se cumple:

Si el residuo es cero, se dice que la raíz es exacta; caso contrario la raíz seria entera.

Tipos de raíz cuadrada:

1. Raíz cuadrada exacta:

Es aquel número que elevado al cuadrado me reproduce el número dado; es decir,  cuando la raíz es exacta y el residuo es igual a cero; en este caso se cumple la siguiente relación:

Ejemplo:

 Donde 3 es una raíz exacta; por lo tanto se cumplirá la siguiente relación:

2. Raíz cuadrada entera:

Es el mayor número entero, cuyo cuadrado es menor que dicho número y que su residuo es la diferencia entre el número dado y su cuadrado de la raíz entera.

En este caso;  cuando la raíz es entera y el residuo es diferente de cero; se cumple la siguiente relación:

Ejemplo:

En este ejemplo la raíz es entera; por consiguiente se cumplirá la siguiente relación:

Propiedades de la radicación:

1. Producto de raíces cuadradas:

Ejemplo:

2. Cociente de raíces cuadradas:

Ejemplo:

3. Raíz de raíz:

Ejemplo:

4.  Simplificación del índice con el exponente del radicando:

Ejemplo:

 

Algoritmo de la raíz cuadrada:

1. Si el radicando es mayor que dos cifras; entonces se separa en grupos de dos cifras empezando por la derecha; el último grupo puede tener uno o dos cifras.

2. Se extrae la raíz cuadrada del primer grupo; en nuestro caso la raíz cuadrada de 5, que es 2, lo elevamos al cuadrado y nos da 4, que restando del primer grupo nos da 1.

3.  A la derecha del número 1, bajamos el segundo grupo  83 y se forma el número 183; luego separamos con una coma la cifra de la derecha y queda 18,3.

Lo que queda a la izquierda que es 18, lo dividimos por el duplo de la raíz hallada que es 4 y nos da de cociente 4 ; para saber si esa cifra es buena la escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 44 que lo multiplicamos por la misma cifra 4, siendo el producto 176; como este producto se puede restar de 183, lo restamos y subimos el4 ala raíz; la resta nos da 7.

4.  A la derecha del resto 7, escribimos la cifras del siguiente grupo 90 y se forma el número 790; separamos la cifra de la derecha con una coma y nos quedaría 79,0 y dividimos 79 entre el duplo de la raíz 24 que es 48 y nos queda de cociente 1 . Para saber si esta cifra es buena, escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 481, que lo multiplicamos por la misma cifra 1, siendo el producto 481; como este producto se puede restar de 790 lo restamos y subimos la cifra 1 en la raíz, la resta nos da 309.

5. A la derecha del resto 309, escribimos la cifras del siguiente grupo 41 y se forma el número 30941; separamos la cifra de la derecha con una coma y nos quedaría 3094,1 y dividimos 3094 entre el duplo de la raíz 241 que es 482 y nos queda de cociente 6 . Para saber si la cifra es buena, escribimos al lado del duplo de la raíz y se forma el número 4826, que lo multiplicamos por la misma cifra 6; siendo el producto 28956; como este producto se puede restar de 30941 lo restamos y subimos la cifra 6 en la raíz, la resta nos da 1985.

 

Potencia de números naturales

Se llama potenciación a la multiplicación de factores iguales.

Presenta la siguiente forma:

Donde:

Base:                   b

Exponente:         n

Potencia:            P

Ejemplo:

En nuestro ejemplo:

Base:                 Es el factor que se repite:    4

Exponente:   Es el número que indica las veces que se repite la base:    5

Potencia:        Es el resultado del producto de las bases:      1024

 

Propiedades de la potencia de los números naturales.

1. Todo número natural, elevado a un exponente 1, es igual al mismo número natural.

Ejemplo:

2. Exponente cero:

Todo número natural distinto de cero, elevado a un exponente igual a cero, da por resultado a la unidad.

Ejemplo:

3. Productos de potencias con una misma base:

El producto de potencias con una misma base es igual a la base común elevada a la suma de sus exponentes.

Ejemplo:

4. Cociente de potencias con una misma base:

El cociente de potencias con una misma base es igual a la base común elevada a la diferencia del exponente del numerador, menos el exponente del denominador.

Ejemplo:

5. Potencia de una potencia:

Una potencia elevada a otra potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Ejemplo:

6. Producto de potencias con un mismo exponente:

El producto de potencias con un mismo exponente es igual al producto de las bases, elevada  al mismo exponente.

Ejemplo:

7. Cociente de potencias con un mismo exponente:

El cociente de potencias con un mismo exponente es igual al cociente de las bases elevado al mismo exponente.

Ejemplo:

 

División de números naturales

La división se puede definir como la operación en la que se debe de repartir un número de elementos (llamado dividendo: D) entre un número de partes iguales (llamado divisor: d), que nos daría como resultados un número de elementos que corresponde a cada parte (llamado cociente: q) y que podría quedar un número de elementos que sobran (llamado residuo: r).

Si el residuo es cero, se dice que la división es exacta y si es diferente de cero, se dice que la división es entera.

En toda división se cumple:

Tipos de divisiones:

1. División exacta:

Una división es exacta, cuando el residuo es cero.

Ejemplo:

2. División entera:

Llamada también división inexacta, es aquella división cuando el residuo es diferente de cero.

Ejemplo:

Propiedades de la división:

1. No es una operación interna:

El resultado de dividir dos números naturales no necesariamente es otro número natural.

Ejemplo:

2. No es conmutativa:

El orden en que se coloque el número como dividendo y  el otro número como divisor altera el cociente.

Ejemplo:

3.Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la división. La división de cualquier número natural entre su elemento neutro es el mismo número.

Ejemplo:

4. Cero dividido entre cualquier número natural; siempre da por resultado cero.

5. No se puede dividir entre cero.

Ejemplo:  no puedo repartir 15 libros entre ninguna persona.

 

Multiplicación de números naturales

Es una operación que consiste en sumar tantas veces un número como indica otro número.

Los términos que intervienen en la multiplicación se llaman:

Ejemplo:

5 . 4 equivale a sumar el número 5, cuatro veces; es decir: 5 + 5 +5 + 5

El resultado es 20.

Donde: 5 y 4 son los factores de la multiplicación y 20 el producto

Propiedades de la multiplicación en los números naturales:

1. Interna:

El resultado de multiplicar dos números naturales; es otro número natural.

2. Asociativa:

La forma como se agrupa los factores no altera el producto.

3. Conmutativa:

El orden de los factores no altera el producto.

4. Elemento neutro:

El elemento neutro de la multiplicación es el 1. La multiplicación de cualquier número natural por el elemento neutro es el mismo número.

5.  Elemento absorbente:

El elemento absorbente de la multiplicación es el cero. La multiplicación de cualquier número natural por el cero da por resultado el cero.

6. Distributiva:

La multiplicación de un número natural por una adición o sustracción es igual a la adición (sustracción) del producto de tal número por cada sumando (o cada término de la sustracción).

 

Resta de números naturales

La sustracción entre dos números naturales es la operación que consiste en quitar al número inicial la cantidad que indique el número final; se expresa de la siguiente manera:

 

Propiedades de la resta de los números naturales:

1. No es una operación interna

El resultado de restar dos números naturales no necesariamente es un número natural.

 

2. No es conmutativa: