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Razones y proporciones

Razón:

Es la comparación de dos cantidades, ya sea por cociente, o por diferencia.

Si la comparación de las cantidades, es por cociente, recibe el nombre  de razón geométrica.  Cabe resaltar que para poder comparar 2 cantidades, estas deben de tener las mismas unidades de medida.

Términos de la razón geométrica:

Ejemplo:

Comparar 15 metros de tela de algodón, con 5 metros de tela de seda.

Observación:

No hay que confundir  razón geométrica con la fracción:

Ejemplo:

En cambio:

 

Ejemplo:

Ahora; si la comparación de las cantidades es por diferencia, recibe el nombre  de razón aritmética:

Ejemplo.

Comparar las edades de Juan y María

32 años  – 15 años  =  17 años  (Razón aritmética)

Problemas:

1)  La razón geométrica entre 2 números es como 5 es  a 3, si el mayor de dichos números es 30, hallar el menor.

2)  La razón geométrica entre dos números es como 7 es a 3, hallar el mayor, si la razón aritmética es 28.

3)  Dos números son entre sí como 7 es a 11; si la suma de estos números es 108, hallar la razón aritmética de dichos números.

4)  Dos números son entre sí como 3 es a 7; si el producto de estos números es 189, hallar el menor de dichos números.

5)  Las edades actuales de María y Ana son proporcionales a 7 y 6; pero dentro de 4 años; dichas edades serán proporcionales a 9 y 8. Calcula la edad actual de Ana.

6)  La razón aritmética entre dos números es 40, si la razón geométrica entre dichos números es como 7 a 5, hallar el mayor de los números.

7)  Las edades de Manuel y José se encuentran en la relación de 5 a 4. Hace 5 años estaban en la relación de 7 a 5. Calcular la edad actual de Manuel.

8 )  La razón geométrica entre dos números es como 9 a 6, hallar la razón geométrica entre la suma y la diferencia de dichos números.

9)  Las edades  actuales de Javi y Víctor  se encuentran en la relación de 6 a 5. Hace 6 años estaban en la relación de 4 a 3. Calcular la edad de Víctor dentro de 4 años.

10)  Dos números son entre sí como 16 es a 9, si el producto de estos números es 3600, hallar la razón aritmética entre dichos números.

Clave de respuestas:

1)   18                    2)  49                             3)  24                     4)  9                          5)   12 años

6)  140                  7)  25 años                 8 )  5                      9 )  19 años           10)  35

 

Proporción:

Es la igualdad de dos razones.

Se lee: “a” es a  “b”, como “c “  es a  “ d”

Términos de una proporción:

K= constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones:

1.  En todo proporción geométrica se cumple, que el producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos.

Ejemplo:

2.  En toda proporción aritmética se cumple, que la suma de sus términos medios, es igual a la suma de sus términos extremos.

 

Ejemplo:

Clases  de proporciones:

    1.  Proporción discreta:

Es aquella, en la cual sus  4 términos de la proporción son diferentes.

Donde: a, b, c, y d se llaman cuarta proporcional.

Ejemplo:

Hallar la cuarta proporcional de 32, 8, y 16.

Luego, formamos la proporción geométrica así:

2.     Proporción continua:

Es aquella proporción, en la cual sus términos medios de la proporción son iguales.

Donde:

Ejemplo 1:

Hallar la tercia proporcional de 6 y 8.

Solución:

Formamos la proporción continua así:

 

Ejemplo 2:

Hallar la media proporcional de 12 y 2.

Solución:

Formamos la proporción geométrica así:

Ejercicios:

1.   Halla el valor de “x” en  cada una de las siguientes proporciones geométricas:

                                                                                 

                                                                             

2.   Halla el valor de “x” , en la siguiente  proporción geométrica:

3.   En la siguiente proporción aritmética:

La suma de los términos extremos es 17. Hallar 2x+y

 

Clave de respuesta:

1-a) 15                                 1-b) 3                                   1-c)  12                                 1-d)  7

 

1-e)  144                             1-f)  252                               2) 8                                        3)  17

 

Serie de razones geométricas iguales:

Se llama así a la igualdad de más de dos razones geométricas iguales:

Propiedades:

1.   En toda serie de razones geométricas continuas, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes; como cada antecedente es a  su respectivo consecuente.

Es decir la constante de proporcionalidad “k” no se altera.

2.   El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes; como cada antecedente es a su respectivo consecuente, elevados a un exponente igual a la cantidad de razones que intervienen en la serie.

Es decir la constante de proporcionalidad “K”, queda elevada a una cantidad igual al número de razones que interviene en la serie.

3.   En toda serie de razones geométricas iguales se cumple:

Cualquier combinación que se haga en una razón; lo mismo se tiene que hacer en la otra razón,  para que se mantenga la igualdad; por consiguiente la constante de proporcionalidad quedará afectada por la combinación que se dé en cada razón.

 

Ejercicios:

Calcular el valor de “b”

Hallar el valor de “c”

Hallar el valor de “a”

Hallar el valor de “b”

Hallar el valor de “a”

Calcular: a + b + c

Calcular: “a – b + c”

Clave de respuestas:

1)  24                         2)  16                          3 )  49                    4 )  20                    5 ) 27

6)  98                         7) 2                            8 )  30                    9)  4                       10)  20

 

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