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Reparto proporcional compuesto

El reparto proporcional es compuesto, cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números. Estas; a su vez, puede ser:

  • Reparto proporcional compuesto directo.
  • Reparto proporcional compuesto inverso.
  • Reparto proporcional compuesto mixto.

Reparto proporcional compuesto directo:

El reparto proporcional es directo, cuando a mayor sea  el número proporcional, mayor será el beneficio, y  viceversa. Y es compuesto;  cuando el número proporcional, proviene de un producto de factores.

Repartir “N” entre las partes proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a: “a . a1”, “b . b1”, “c . c1” respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

  • Primero obtenemos los números proporcionales del reparto;  multiplicando los factores,   de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego  estaremos en el caso del reparto proporcional simple directo; con lo cual,  se puede resolver con cualquiera de los 2 métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir 364 euros, en tres partes directamente proporcionales a 3,2 y 5, y simultáneamente a 4,7, y 6.

Método de proporciones:

Solución:

La cantidad  a repartir es 364 euros.

Primero  calculamos los números proporcionales del reparto compuesto, multiplicando los factores de los números proporcionales parciales, de la siguiente manera:

Cabe destacar, que lo que importa de estos números proporcionales, no es la cantidad nominal, sino la relación que guardan entre sí. Por consiguiente, si cabe la posibilidad de simplificar estos números; el resultado no se altera. (En nuestro caso, a los números proporcionales: 12,14, 30;  le hemos quitado la mitad)

Llamemos “x”,”y”,”z”; las partes buscadas; que sean directamente proporcionales a los números 6, 7 y 15; el cociente debe de ser una constante, por lo tanto vamos a formar la proporción.

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 6 + 7 + 15 = 28

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son 78, 91, y 195 euros.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 78 euros + 91 euros + 195 euros = 364 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 364 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 6, 7, y 15.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 6 + 7 +  15 = 28

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 78, 91, y 195 euros respectivamente.

Comprobación: 78 euros + 91 euros + 195 euros = 364 euros.

Reparto proporcional compuesto inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional: menor le corresponde en el reparto, y viceversa. Y es compuesto cuando los números proporcionales provienen de un producto de factores.

Como ya hemos visto anteriormente, los problemas de reparto proporcional inverso se transforman en problemas de reparto proporcional directo, invirtiendo cada número proporcional.  Es decir:

Repartir “N” entre las partes inversamente proporcionales “a”, “b”, “c”, y  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a:  , respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir  144 euros, en partes inversamente proporcionales a los números  3, 2, y 4; y también a  2, 4, y 6 respectivamente.

Método de proporciones:

Solución:

La cantidad  a repartir es 144 euros.

Primero  buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo.

Para ello; invertiremos cada uno de los números proporcionales parciales  del problema, de la siguiente manera:

Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

 

Luego, damos común denominador a los números: 6, 8 y 24. Es decir, m.c.m (6,8, y 24) = 24

Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos  números proporcionales son: 4, 3, y 1 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Luego, la cantidad a repartir es  N = 144 Euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 1; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 1 = 8

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son: 72, 54, y 18 euros.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 444 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3, y 1, respetivamente.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 4 + 3 +  1 = 8

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 72, 54, y 18 euros respectivamente.

Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.

Reparto proporcional compuesto mixto:

El reparto proporcional compuesto  mixto, es  cuando de una cantidad se da una repartición directamente proporcional a uno o más factores e inversamente proporcional a uno u otros factores.

Como pueden apreciar, este es un caso donde se combinan el reparto proporcional directo e inverso;  con lo cual, basta con convertir a reparto directo, todos los factores que son inversamente proporcionales; invirtiendo cada número proporcional. Es decir:

Repartir “N” entre las partes directamente proporcionales “a”, “b”, “c”, e inversamente proporcional  a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales a:  ,  respectivamente.

Donde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales que son inversos. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales inversos. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando  todos los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
  • Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Ejemplo:

Repartir 480 euros en 3 partes directamente proporcionales a: 3, 4, y  5 e inversamente proporcionales a: 6, 12, y 18, respectivamente

Método de proporciones:

La cantidad  a repartir es 480 euros.

Primero  buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo.

Para ello; invertiremos cada uno de los números  parciales que son inversamente proporcionales  del problema, y los números que son directamente proporcionales, se deja tal como está; de la siguiente manera:

Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.

Luego, damos común denominador a los números: 6, 12 y 18. Es decir, m.c.m (6,12, y 18) = 36

Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, Y como el resultado de  todos los números proporcionales del reparto tienen mitad, se simplifica quedando de la siguiente manera:

De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos  números proporcionales son: 9, 6, y 5 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Luego, la cantidad a repartir es  N = 480 Euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6 y 5; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 9 + 6 + 5 = 20

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las cantidades a repartir son: 216, 144, y 120 euros respectivamente.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 480 euros.

Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6, y 5, respetivamente.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 9 + 6 +  5 = 20

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.

Luego, las cantidades a repartir son 216, 144, y 120 euros respectivamente.

Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.

Problemas:

1)    Repartir  696 euros directamente proporcionales a los números 2 y 5, y simultáneamente a 9 y 8.

2)   Repartir el número 1972 directamente proporcional a 3,4, y 7 y simultáneamente a 5,6, y 9.

3)    Repartir 3536 euros  en partes inversamente proporcionales a 3, 4, y 5 y simultáneamente a 3/4, 1/3, y 6.

4)   Repartir 5040 en partes directamente proporcionales a 3, y 7 e inversamente proporcionales a 1/5, y 1/3.

5)   Repartir 468 manzanas en partes directamente proporcionales a los números  3, y 8 e inversamente proporcionales a los números 1/5, y 1/3.

6)   Una empresa decide repartir  7895 euros  de premio, entre sus tres mejores trabajadores,  en forma directamente proporcional a su productividad: 3%, 5%, y 8% respectivamente  e inversamente proporcional al número de faltas: 4 días, 6 días, y 9 días respectivamente.  ¿Cuánto le corresponde a cada trabajador dicho premio?

7)    Dos operarios que trabajan como asociados han cobrado 1215 euros, como  pago a cierto trabajo realizado. El primero ha dedicado tres días, a razón de 8 horas diarias y el segundo cinco días, a razón de 6 horas diarias. ¿Cómo debe de realizarse el reparto?

8 )   Se han pagado 4’125,000 euros por tres parcelas de terreno de 7,4 ha, 4 ha, y 36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?

9)   Varios amigos y amigas acuden a un supermercado para comprar productos con  los que celebrar una fiesta. Se han gastado 105 euros. María lleva el dinero de 6 de ellos, Juan de 4 de ellos, y Ana de 5 de ellos. ¿Qué parte de lo que tienen que pagar  ha de poner cada uno?

10)   La ganancia del primer año de una empresa se reparte en forma directamente proporcional a su aportación de capital: socio A aportó 20000 euros, socio B aportó 70000 euros, y socio C aportó 30000 euros respectivamente;  y en forma inversamente proporcional a los adelantos de dinero que la empresa a entregado a sus socios durante el año en ejercicio: Socio A cobró 3000 euros, socio B cobró 5000 euros, y el socio C cobró 2000 euros; si se sabe que el socio A recibió  400000 euros. Calcular cuánto recibió los otros socios B, y C?

Clave de respuestas:

1)   216 euros, y  480 euros respectivamente.                    2)   290, 464, y 1218 respectivamente.

3)   1280 euros, 2160 euros, y 96 euros respectivamente.            4)   2100, y 2940 respectivamente.

5)   180 euros, y 288 euros respectivamente.                     6)   1485 euros, 1650 euros, y  1760 euros respectivamente.

7)   540 euros, y 675 euros. Respectivamente.                  8 )   2’062500 euros, 1’100000 euros, y 990000 euros respectivamente.

9)  María 42 euros, Juan 28 euros, y Ana 35 euros.          10) Socio B = 840000 euros, socio C = 900000 euros.

6 respuestas a Reparto proporcional compuesto

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