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reparto proporcional simple directo

Reparto proporcional

En un procedimiento de cálculo que permite repartir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras.

Se dice que el reparto es simple, cuando las cantidades repartidas, son proporcionales a números simples.

Ahora; dependiendo de la relación que exista entre la cantidad a repartir,  y las partes proporcionales; el reparto proporcional puede ser:

  • Reparto proporcional simple directo.
  • Reparto proporcional simple inverso.

Cuando las partes repartidas, son proporcionales al producto de varios números, recibe el nombre de reparto proporcional compuesto; que más adelante lo veremos en detalle.

Reparto proporcional simple directo

El reparto es  directo, cuando a mayor sea el número proporcional; más le corresponde al beneficiario o viceversa.

Repartir el número “N”, entre las partes proporcionales: a, b, y c

Donde: “a”, “b”, y” c”  se le conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”,” z”;  la cantidad buscada,  que le corresponde a cada número proporcional.

Procedimiento

Existen dos métodos de cálculo, que son los siguientes:

Método de proporciones:

Este método consiste en formular proporciones de acuerdo con el siguiente  procedimiento:

  • Sumar las partes proporcionales, llamado también números proporcionales.

En nuestro caso sería:

a  +  b  +  c

  • Formar proporciones,  para cada uno de los números proporcionales, de la siguiente manera: La cantidad N, es  a la sumatoria de los números proporcionales; como la incógnita es a cada índice.

En nuestro caso sería:

 

Ejemplo:

Repartir  la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.

Solución:

La cantidad a repartir es N = 1000 euros

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas.  Como estos números deben de ser directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5; el cociente debe de ser constante, por consiguiente vamos a formar la proporción.

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 2 + 3 + 5 = 10

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

Luego, las tres partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.

La forma de comprobar si el reparto ha sido bien hecho, es sumar las partes encontradas, y dará como resultado;  la cantidad a repartir.

En nuestro ejemplo: si sumamos 200 euros + 300 euros + 500 euros, esto me da como resultado 1000 euros; que es la cantidad a repartir inicialmente.

 

Método de reducción a la unidad:

Este método consiste en seguir el siguiente procedimiento.

  • Sumar los números proporcionales.

a  +  b  +  c

  • Determinar la constante de proporcionalidad.

  • Multiplicar la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales, y el resultado es el cociente de reparto, o la cantidad que corresponde a cada uno.

Ejemplo:

Tomemos el enunciado del  ejemplo anterior, para poder  apreciarlo mejor:

Repartir  la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S= 2 + 3 + 5 = 10

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades  que corresponde a cada uno.

Luego, las partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.

De la misma forma, si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir:

Comprobación:  200 euros + 300 euros + 500 euros = 1000 euros

Reparto proporcional simple inverso:

El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional; menor le corresponde en el reparto, y viceversa.

Repartir el número “N” entre las partes proporcionales: “a”, “b”, y “c”

 

Donde: “a”, “b” y “c” se les conoce con el nombre de números proporcionales.

Sea: “x”, “y”, “z” la cantidad buscada que le corresponde a cada número proporcional.

Procedimiento:

Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional simple inverso, en reparto proporcional simple directo, de la siguiente manera:

  • Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
  • Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales.
  •  Se procede a resolver como si  fuera un reparto proporcional simple directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.

Para entenderlo mejor, veamos con un ejemplo numérico.

Ejemplo:

Repartir el número 720 en 3 partes, que sean inversamente proporcionales a los números: 3, 4, y 6.

Solución:

1º   Vamos a convertir el reparto proporcional simple inverso, en reparto proporcional simple directo; para ello invertimos cada uno de los números proporcionales.

2º   Luego damos común denominador a los números 3, 4, y 6.

m.c.m.(3,4,6)= 12;  Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:

Luego; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional simple directo, cuyos  números proporcionales son: 4, 3, y 2 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.

Método de proporciones:

La cantidad a repartir es N = 720

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 2; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:

  • Sumamos los números proporcionales:

S = 4 + 3 + 2 = 9

  • Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.

 

Luego, las tres partes buscadas son: 320, 240, y 160.

Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.

Comprobación: 320 euros + 240 euros + 160 euros = 720 euros

Método de reducción a la unidad:

La cantidad a repartir es 720

Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 2.

Solución:

  • Sumamos los números proporcionales.

S = 4 + 3 + 2 = 9

  • Determinamos la constante de proporcionalidad.

  • Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades que corresponden a cada uno.

Luego, las partes buscadas son 320, 240, y 160 respectivamente.

Comprobación: 320 euros + 240 euros + 160 euros = 720 euros

 

Problemas:

1)   Un padre reparte 1680 euros en parte proporcionales a las edades de sus hijos, siendo estas    12, 10, y 20 años. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

2)   Dividir el número 158,4 euros en parte directamente proporcionales  a 1.6, 1.8, y 3.2 respectivamente.

3)   Repartir 1616 naranjas en partes directamente proporcionales a  los números: 1/4, 5/6, y 3/5.

4)   Repartir 1184 manzanas  inversamente proporcionales a: 2/3, 4/5, y 3 respectivamente.

5)   El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente: 3, 5, y 7. ¿Cuánto dinero recibió el que compro más boletos, si en total se repartió 1633 euros?

6)   Si al distribuir 4500 euros que sean inversamente proporcionales a 2, 3, 5, y 6. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y la menor de las partes?

7)   Tres socios invierten 50,000 euros, 70,000 euros, y 90000 euros respectivamente, en un negocio que, al cabo de un año, da 13230 euros de beneficios. ¿Cuánto se llevará cada uno?

8)   Ana ha recibido un plus de 136 euros por  haber trabajado 8 horas extras. ¿Cuánto recibirán Víctor y José que han realizado 15 y 12 horas extras respectivamente?

9)   Un padre decide repartir 399 euros entre sus tres hijos en partes proporcionales a las notas que obtuvieron sus tres hijos; si sus notas fueron 6, 8, y 7 respectivamente. Hallar cuanto le corresponde al menor.

10)  Un  instituto decide repartir un premio de 1274 euros, en forma inversamente proporcional  al número de tardanzas que han tenido los alumnos de un salón de clases. Si Juan ha tenido 4 tardanzas, Pablo 6 tardanzas, y Rafa 8 tardanzas  respectivamente en todo el curso. ¿Quién recibe menos, y cuánto?

Clave de respuestas:

1)    480 euros, 400 euros, y 800 euros.                  2) 38,4 euros;  43,2 euros;  76,8 euros

3)   240 naranjas, 800 naranjas, y 576 naranjas

4)  576 manzanas, 480 manzanas, y  128 manzanas          5)  345 euros                     6) 1250 euros

7)  3150 euros, 4410 euros, y 5670 euros              8 )  255 euros, y 204 euros           9)  114 euros

10)   Rafa recibe 294 euros